题解 P3802 【小魔女帕琪】

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萌新第一次写期望题解，求过qwq。

感觉题解里大佬写的太强了，这里我也来发表一下个人的见解。

令S=\sum_{i=1}^7a_i

设施展一次帕琪七重奏的概率为P(A)，那么很显然有：

P(A)=\frac{a_1}S*\frac{a_2}{S-1}*\frac{a_3}{S-2}*\frac{a_4}{S-3}*\frac{a_5}{S-4}*\frac{a_6}{S-5}*\frac{a_7}{S-6}

但我们发现，每一次可以从任意的元素开始，所以内部的顺序是随机的，这就构成了7的排列，即7!。

P(A)=7!*\frac{a_1}S*\frac{a_2}{S-1}*\frac{a_3}{S-2}*\frac{a_4}{S-3}*\frac{a_5}{S-4}*\frac{a_6}{S-5}*\frac{a_7}{S-6}

在这个题中，我们可以发现E(A)=P(A)，这就具有了很好的性质，因为期望是具有线性可加性的，即：

E(A+B)=E(A)+E(B)

我们就可以得到总共的期望【设为E(M)】为：

E(M)=7!*\frac{a_1}S*\frac{a_2}{S-1}*\frac{a_3}{S-2}*\frac{a_4}{S-3}*\frac{a_5}{S-4}*\frac{a_6}{S-5}*\frac{a_7}{S-6} +7!*\frac{a_1-1}{S-6}*\frac{a_2-1}{S-7}*\frac{a_3-1}{S-8}*\frac{a_4-1}{S-9}*\frac{a_5-1}{S-10}*\frac{a_6-1}{S-11}*\frac{a_7-1}{S-12}+\dots

这样的式子看起来很不可化简（其实我也不会化）。

但我们可以从它的本身含义入手。

每次加一次P(A)，相当于在上一次选出的7个数后面补上7个数。

也就是说我们相当于在造一个很长的链：

1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4\dots

（当然这只是其中一个例子。）

我们会发现，从其中任意截取一个点向后延伸7位，都构成一个完整的1~7的排列。

而一共能截多少个呢？

不难发现除了最后6个不行，其他都行。

故为S-6个。

所以最终答案为：

E(M)=(S-6)*7!*\frac{a_1}S*\frac{a_2}{S-1}*\frac{a_3}{S-2}*\frac{a_4}{S-3}*\frac{a_5}{S-4}*\frac{a_6}{S-5}*\frac{a_7}{S-6} =7!*\frac{a_1}S*\frac{a_2}{S-1}*\frac{a_3}{S-2}*\frac{a_4}{S-3}*\frac{a_5}{S-4}*\frac{a_6}{S-5}*a_7

直接做就行（7!=5040）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a[8],ans=1,sum;
int main()
{
    for(int i=1;i<=7;i++) scanf("%lf",&a[i]),sum+=a[i];
    for(int i=1;i<=6;i++)
    {
        ans*=a[i];
        ans/=(sum-i+1);
    }
    ans*=5040;
    ans*=a[7];
    printf("%.3lf",ans);
    return 0;
}