题解 P1291 【[SHOI2002]百事世界杯之旅】

我确信洛谷和网上的题解大部分都是错的，少部分是对的的也并没有说清楚。 比如说这个题极限的思想，我没有看到一个提出来的。 **首先得明白一点，当已经买到所有的名字以后，是不需要再买的。针对于子问题也这样想。** 从两个方面分别具体说说这个题目。 [欢迎来博客阅读~](https://www.cnblogs.com/ppprseter/p/9376392.html) 一、对每一步暴力极限求解。 令$f[i]$表示已经买到$i$个球星的期望购买次数。 我们由$f[i]$推$f[i+1]$ 下一次购买可以买到不同球星的概率是$\frac{n-i}{n}$ 下两次购买可以买到不同球星的概率是$\frac{i}{n} \times \frac{n-i}{n}$ 注意到这时第一次买到的情况已经忽略了 ... 下$k$次购买可以买到不同球星的概率是$(\frac{i}{n})^{k-1} \times \frac{n-i}{n}$ 假设第$k$次就是正无穷次 则此步的期望即为 ## $E=1 \times \frac{n-i}{n}+2 \times \frac{i}{n} \times \frac{n-i}{n}+3 \times (\frac{i}{n})^2 \times \frac{n-i}{n}+...+k \times (\frac{i}{n})^{k-1} \times \frac{n-i}{n}$ 则有 ## $\frac{i}{n} \times E=1 \times \frac{i}{n} \times \frac{n-i}{n}+2 \times (\frac{i}{n})^2 \times \frac{n-i}{n}+3 \times (\frac{i}{n})^3 \times \frac{n-i}{n}+...+k \times (\frac{i}{n})^k \times \frac{n-i}{n}$ 错位相减 ## $E\approx 1+\frac{i}{n}+(\frac{i}{n})^2+...(\frac{i}{n})^{k-1}$ 此步中采用极限的思想丢了一些$0$的项,用“$\approx$”表示采用极限思想，实际上极限是准确值，不需要“$\approx$”，此处只是为了标示，下同。 由等比数列公式 ## $E=1+\frac{\frac{i}{n}-(\frac{i}{n})^k}{\frac{n-i}{n}}$ ## $\approx \frac{n}{n-i}$ 所以我们得出 ## $f[i+1]=f[i]+\frac{n}{n-i}$ 则 ## $f[n]=n \times (\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n})$ 二、神奇的自己推自己的方法 同样令$f[i]$表示已经买到$i$个球星的期望购买次数。 如果从上一个推过来，为 ## $f[i]+=(f[i-1]+1)\times \frac{n-(i-1)}{n}$ 如果从当前推过来，为 ## $f[i]+=(f[i]+1)\times \frac{i}{n}$ 发现概率之和并不等于1，也就是说，这样写是有问题的。 从上一个推过来肯定没问题，我们考虑从当前推当前的意义。 “买了一个，买的是自己有的的概率” 然而我们考虑最开始说的一句话 “当已经买到所有的名字以后，是不需要再买的。” 也就是说，我们这样写可能把自己买了很多遍，而事实上是并不需要再买的。 于是我们修改一下意义 为“买了一个，买的是自己有的且不是自己的概率” 则推过来就是 ## $f[i]+=(f[i]+1)\times \frac{i-1}{n}$ 那我们这个什么时候买呢？ 极限的思想，在最后买时，对期望的影响是微乎其微的 把这两项加起来并化简 就得到了 ## $f[i]=f[i-1]+\frac{n}{n-i+1}$ 和上一个方法的结果是一样的 关于合并两个值并不是一样的$f[i]$，用的也是极限的思想