题解 AT5799 【[AGC043B] 123 Triangle】

CYJian

2020-03-22 08:41:30

Solution

## AGC043B 赛时做法: 手玩样例 + 合理推理之后,不难发现,$k>1$ 的时候就一定不存在 $3$ 了。也就是说,除了 $N=1$ 的情况,答案只能在 $0,1,2$ 三个数中产生。 那么问题来了:怎么判断是谁呢? 冷静分析之后,我们发现,如果不直接计算出最后是谁,而是排除最后一定不是谁,就能从另一个角度知道结果了。 然后再想想,如果 $\exists x \in[1, N - 1], f(2,x)=1$,则不难发现最后结果一定只能是 $0$ 或者 $1$。考虑 $0$ 和 $2$ 只要碰到 $1$ 就会变成 $1$,也就是说,只要 $1$ 旁边存在 $0$ 或者 $2$, $1$ 就一定会存在。所以,只要不是到了某一层全是 $1$ 的情况,$1$ 就一定会存在。所以 $2$ 就一定不能撑到第 $N$ 层。 然后这时候我们就只需要判定答案是 $1$ 还是 $0$ 了。也就是,我们只需要断定答案的奇偶性就可以了。 不难发现,模 $2$ 意义下,减法等价于加法(单指运算结果)。则可以将原递推式变为: $$f_{k,x} = f_{k-1, x} + f_{k-1,x+1} \pmod 2$$ 不难发现是类似组合数递推的,只不过转移方向反过来而已。利用组合数可以得到: $$f_{N,1}=\sum_{i=1}^{N} a_i \times \binom{N-1}{i-1} \pmod 2$$ 利用 `Lucas` 定理,就能 $O(\log n)$ 快速求解了。 当然,对于 $\bmod\ 2$ 意义下,有 $\binom{n}{m} \equiv[n\ \mathrm{and}\ m=m] \pmod2$。利用这个可以 $O(1)$ 求这个题要求的组合数。 然后再考虑没有 $1$ 的情况:这时候这层中仅可能有 $0$ 和 $2$。在 $\bmod\ 4$ 意义下,此时的减法也等价于加法。不妨将 $a_i$ 除掉一个 $2$ 之后,用求解 $0$ 和 $1$ 的方法来求解 $0$ 和 $2$,这样就解决了这个题了。 ```cpp char s[1000010]; inline int C(int n, int m) { return (n & m) == m; } int main() { int n; scanf("%d%s", &n, s + 1); if(n == 1) putchar(s[1]), puts(""); else { --n; int find1 = 0; for(int j = 1; j <= n; j++) s[j] = abs(s[j] - s[j + 1]), find1 |= s[j] == 1; if(!find1) for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] >>= 1; find1 ^= 1; int t = 0; for(int j = 1; j <= n; j++) t ^= C(n - 1, j - 1) * (s[j] & 1); cout << (int(t) << find1) << endl; } return 0; } ```