题解 P6222 【「P6156 简单题」加强版】
CYJian
2020-03-21 15:28:22
~~搬运~~
如果这个加强版有什么问题请私信戳我。
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这个题推柿子的部分较为简单，就简单写写吧。
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} (i+j)^k \mu^2((i,j))(i,j)$$
$$\sum_{d=1}^{n}\mu^2(d)d^{k+1}\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}(i+j)^k[(i,j)=1]$$
$$\sum_{d=1}^{n}\mu^2(d)d^{k+1}\sum_{t=1}^{n/d}\mu(t)t^k\sum_{i=1}^{n/td}\sum_{j=1}^{n/td} (i+j)^k$$
令 $S(x)=\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{x} (i+j)^k$。
$$ \sum_{d=1}^{n}\sum_{t=1}^{n/d}t^kd^{k+1}\mu(t)\mu^2(d)S(\frac{n}{td}) $$
令 $T = td$：
$$ \sum_{T=1}^{n}T^kS(\frac{n}T)\sum_{d|T}d\mu^2(d)\mu(\frac{T}{d}) $$
---
然后考虑快速预处理需要的东西：
先考虑快速求 $S(x)$：
令 $F(n) = \sum_{i=1}^{n} i^k$，$G(n) = \sum_{i=1}^{n}F(i)$。
则有：$S(n) = \sum_{i=n+1}^{2n}F(i)-\sum_{i=1}^{n}F(i)=G(2n)-2G(n)$。
自然数 $k$ 次幂可以 $O(n)$ 用欧拉筛筛出来。
然后一次前缀和求 $F(x)$ 之后，再做前缀和就能求 $S(x)$ 了。
再考虑 $f(n) = \sum_{d|n}d \mu^2(d)\mu(\frac{n}{d})$：由于是一堆积性函数的狄利克雷卷积的形式，则 $f(n)$ 也一定是积性函数。
考虑欧拉筛筛中 $x$ 时，枚举到的质因数是 $p$。从 $\mu$ 函数着手考虑，则讨论 $p$ 在 $x$ 中的最高次幂因子：假设 $p^k \mid x$ 且有 $p^{k+1} \nmid x$：
根据积性函数性质，则有：$f(x) = f(p^k) \times f(\frac{x}{p^k})$。
讨论一下 $f(p^k)$ 的取值：
- $k=0$，即 $f(1)$ 的取值一定为 $1$。
- $k=1$，则 $f(p) = 1 \mu^2(1) \mu(p) + p \mu^2(p) \mu(1) = p-1$。
- $k=2$，则 $f(p^2) = 1 \mu^2(1) \mu(p^2) + p \mu^2(p) \mu(p) + p^2 \mu^2(p^2) \mu(1)=-p$。
- $k \ge 3$，由于鸽笼原理，此时 $d$ 和 $\frac{x}{d}$ 中至少有一个能被 $p^2$ 整除，则那一个的 $\mu$ 的值为 $0$。所以此时 $f(p^k)=0$。
然后就可以通过判断 $k$ 的数值来计算 $f(x)$ 了。
$\rm Code$：
```cpp
const int MAXN = 20000010;
inline uit fsp(uit x, int k) {
uit s = 1;
while(k) {
if(k & 1) s *= x;
x *= x, k >>= 1;
} return s;
}
int tot;
int pri[MAXN / 10];
bitset<MAXN>chk;
uit f[MAXN];
uit F[MAXN];
inline void Sieve(int n, int k) {
f[1] = F[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++) {
if(!chk[i]) pri[++tot] = i, f[i] = i - 1;
for(int j = 1; j <= tot; j++) {
if(i * pri[j] > n) break;
int p = i * pri[j];
chk[p] = 1;
F[p] = F[i] * F[pri[j]];
if(i % pri[j] == 0) {
int q = i / pri[j];
if(q % pri[j]) f[p] = -pri[j] * f[q];
break;
} f[p] = f[i] * (pri[j] - 1);
}
}
for(int i = 2; i <= n; i++) f[i] = f[i - 1] + f[i] * F[i], F[i] += F[i - 1];
for(int i = 2; i <= n; i++) F[i] += F[i - 1];
}
inline uit Calc(int n) { return F[n << 1] - (F[n] << 1); }
int main() {
#ifdef LOCAL
FILE("");
#endif
int Case = ri, N = ri, k = ri;
Sieve(N << 1, k);
while(Case--) {
uit res = 0;
int n = ri;
for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
r = n / (n / l);
res += (f[r] - f[l - 1]) * Calc(n / l);
} cout << res << "\n";
}
return 0;
}
```