题解P1967 【货车运输】

#思路# 首先便是想到了Floyd的暴力方法，状态转移方程也不难推出：w[i][j]=max(w[i][j], min(w[i][k],w[k][j]));但是$n^3$次方时间复杂度和$n^2$的空间复杂度是显然不可取的。 于是我们思考，可以发现有一些权值较小的边是不会被走过的。正如样例中的第三条边，就算有其他的很多条边，这条边无论如何也是不会被走过的。于是我们想到了可以将图中这样的边去掉，按照这个思路我们便想到了构造最大生成树，将其余的边去除。 得到了这样一个树之后，我们便考虑如何求出两个节点之间最小边权的最大值（即为题中的最大载重），因为这两点之间的路径是唯一的，我们只需要找出这条路径便可以得到答案。我们可以通过LCA来做到这一点，我求LCA的方法是先从每一个根节点进行搜索，求出节点深度等信息，然后利用这些信息进行树上倍增。 于是我们可以得出大体思路：首先重新建图，构造出最大生成树，然后在最大生成树上求LCA来回答询问。 #代码# ```cpp #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<iostream> #define MAXN 10005 #define INF 999999999 using namespace std; struct Edge1{ int x,y,dis; }edge1[50005]; //题目所给的图 struct Edge2{ int to,next,w; }edge2[100005]; //最大生成树的图 int cnt,n,m,head[MAXN],deep[MAXN],f[MAXN],fa[MAXN][21],w[MAXN][21]; //f数组表示并查集中的父节点，fa数组表示树上的父节点，w数组表示最大载重 bool vis[MAXN]; void addedge(int from, int to, int w) { //前向星存图 edge2[++cnt].next=head[from]; edge2[cnt].to=to; edge2[cnt].w=w; head[from]=cnt; return ; } bool CMP(Edge1 x, Edge1 y) { return x.dis>y.dis; //将边权从大到小排序 } int find(int x){ //并查集寻找父节点 if(f[x]!=x) f[x]=find(f[x]); return f[x]; } void kruskal() { sort(edge1+1, edge1+m+1, CMP); for(int i=1; i<=n; i++) f[i]=i; //并查集初始化 for(int i=1; i<=m; i++) if(find(edge1[i].x)!=find(edge1[i].y)){ f[find(edge1[i].x)]=find(edge1[i].y); addedge(edge1[i].x, edge1[i].y, edge1[i].dis); addedge(edge1[i].y, edge1[i].x, edge1[i].dis); //无向图，双向加边 } return ; } void dfs(int node) { vis[node]=true; for(int i=head[node]; i; i=edge2[i].next){ //前向星遍历 int to=edge2[i].to; if(vis[to]) continue; deep[to]=deep[node]+1; //计算深度 fa[to][0]=node; //储存父节点 w[to][0]=edge2[i].w; //储存到父节点的权值 dfs(to); } return ; } int lca(int x, int y) { if(find(x)!=find(y)) return -1; //不连通，输出-1 int ans=INF; if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y); //保证y节点更深 //将y节点上提到于x节点相同深度 for(int i=20; i>=0; i--) if(deep[fa[y][i]]>=deep[x]){ ans=min(ans, w[y][i]); //更新最大载重（最小边权） y=fa[y][i]; //修改y位置 } if(x==y) return ans; //如果位置已经相等，直接返回答案 //寻找公共祖先 for(int i=20; i>=0; i--) if(fa[x][i]!=fa[y][i]){ ans=min(ans, min(w[x][i], w[y][i])); //更新最大载重（最小边权） x=fa[x][i]; y=fa[y][i]; //修改x,y位置 } ans=min(ans, min(w[x][0], w[y][0])); //更新此时x,y到公共祖先最大载重，fa[x][0], fa[y][0]即为公共祖先 return ans; } int main() { int x,y,z,q; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1; i<=m; i++){ scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); edge1[i].x=x; edge1[i].y=y; edge1[i].dis=z; } //储存题目所给图 kruskal(); for(int i=1; i<=n; i++) if(!vis[i]){ //dfs收集信息 deep[i]=1; dfs(i); fa[i][0]=i; w[i][0]=INF; } //LCA初始化 for(int i=1; i<=20; i++) for(int j=1; j<=n; j++){ fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1]; w[j][i]=min(w[j][i-1], w[fa[j][i-1]][i-1]); } scanf("%d",&q); for(int i=1; i<=q; i++){ scanf("%d%d",&x,&y); printf("%d\n",lca(x,y)); //回答询问 } return 0; } ```