题解 AT4927 【[AGC033D] Complexity】

逗逼领主 · 2020-04-07 14:23:18 · 题解

一个显然的想法是设dp[l][r][u][d]为第l列至第r列与第u行至第d行内的矩形的复杂度. 一定跑不过, 考虑优化.

注意到答案至多为log_2(n*m), 那么换一种状态, 设dp[c][u][d][l]为复杂度为c时在第u行与第d行之间从第l列开始向右延伸最右能延伸到第几列. 转移时分第c刀是横着切还是竖着切考虑.

如果是竖着切则转移显然为dp[c][u][d][l]=dp[c-1][u][d][dp[c-1][u][d][l]+1].

如果横着切, 则有dp[c][u][d][l]=max(min(dp[c][u][k][l],dp[c][k+1][d][l])), 其中k\in [u,d-1]. 然而暴力枚举转移是不行的, 注意到(d-u)越大时dp值越小, 那么可以二分最优的分割点使得上半边和下半边的dp值尽量接近即可.

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
char ch[188][188];
int sum[188][188];
int dp[2][188][188][188];
bool eq(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    int siz=(x2-x1+1)*(y2-y1+1);
    int c1=sum[x2][y2]-sum[x2][y1-1]-sum[x1-1][y2]+sum[x1-1][y1-1];
    return c1==siz||c1==0;
}
void init()
{
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
            sum[i][j]+=sum[i][j-1];
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
            sum[i][j]+=sum[i-1][j];
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=i;j<=n;++j)
            for(int l=1,r;l<=m;l=r)
            {
                r=l;
                while(eq(i,l,j,r)&&r<=m)r++;
                for(int p=l;p<r;++p)dp[0][i][j][p]=r-1;
                if(l==r)dp[0][i][j][l]=l-1,r++;
            }
}
int find(int c,int u,int d,int L)
{
    int l=u,r=d-1,mid;
    int res=0;
    int v1,v2;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)/2;
        v1=dp[c][u][mid][L];
        v2=dp[c][mid+1][d][L];
        res=max(res,min(v1,v2));
        if(v1<v2)r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    return res;
}
void DP(int c)
{
    int nv,lv;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=i;j<=n;++j)
            for(int l=1;l<=m;++l)
            {
                lv=dp[c^1][i][j][l];
                if(lv!=m)
                {
                    nv=dp[c^1][i][j][lv+1];
                    nv=max(nv,find(c^1,i,j,l));
                }
                else nv=m;
                dp[c][i][j][l]=nv;
            }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%s",ch[i]+1);
        for(int j=1;j<=m;++j)
            if(ch[i][j]=='#')sum[i][j]=1;
    }
    init();
    int ans=0;
    for(int i=1;dp[(i&1)^1][1][n][1]<m;++i) DP(i&1),ans=i;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}