AcRapper 的博客

AcRapper 的博客

题解 P3084 【[USACO13OPEN]照片Photo】

posted on 2018-10-23 20:00:45 | under 题解 |

从提高试炼场的dp专题蹦过来,那么显然这个题是差分约束。

(我真的不是很明白题解里的大佬怎么想到的dp,这道题的dp思路真的太巧秒了%%%,,,)

虽然USACOW卡spfa卡的不亦乐乎,但我还是决定用梦想spfa水一波。

分析这道题目我们可以得到这样的关系:设D[i]为前i头奶牛中斑点奶牛的数目,我们要求的就是 $max(D[n])$。每个给定的区间内有且只有一个,转换为符号语言 $D[b]-D[a-1]=1$ ①

在这个性质上进一步思考,能够发现一个很显然的性质:每只奶牛要么是斑点奶牛,要么不是,转换为符号语言: $0<=D[i]-D[i-1]<=1$。②

对①整理一下,因为有且仅有一个斑点奶牛那么能够得到下面两个不等式:

$D[b]-D[a-1]<=1,D[a-1]-D[b]<=-1$

这样用不等式表示出它的等于性质

②又能写出 : $D[i-1]-D[i]<=0$

那么差分约束的解法就相当自然了,把i和i-1之间连一条0边,i-1和i之间连一条1边,a-1和b之间连一条1边,b和a-1之间连一条-1边,跑一手华丽的spfa,然后去研究这个题的正解dp。

那么下一个摆在你面前的问题就是如何跑一手华丽的spfa,这里我们引出梦想spfa。值得一提的是,只单纯的用双端队列优化的spfa正儿八经的判负环就能得到90分的好成绩。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<deque>
#define Endl endl;//qwq
using namespace std;
const int maxn=1e6;
int n,m,cnt=1;
int head[maxn],vis[maxn],dis[maxn];
struct node
{
    int nxt;
    int to;
    int w;
}edge[maxn];
void add(int x,int y,int z)
{
    edge[cnt].to=y;edge[cnt].w=z;edge[cnt].nxt=head[x];head[x]=cnt++;
}
//int cn[maxn];
int l,r;
int tot=0;
int spfa()
{
    deque<int> q;//双端队列优化spfa
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis[0]=0;//从0开始的原因见下面
    vis[0]=1;
    q.push_back(0);
    while(q.size())
    {
        int x=q.front();
        q.pop_front();
        vis[x]=0;
        for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
        {
            int y=edge[i].to,z=edge[i].w;
            if(dis[y]>dis[x]+z)
            {
                dis[y]=dis[x]+z;
                //cn[y]=cn[x]+1;
                if(!vis[y])
                {
                    if(++tot>1926817) return -1;//人要有点信仰,这是梦想spfa的核心部分
                    //if(cn[y]>n)return -1;这是正儿八经的判负环,请一定要学会
                    vis[y]=1;
                    if(q.size()&&dis[y]>dis[q.front()])q.push_back(y);
                    else q.push_front(y);
                }
            }
        }
    }
    return dis[n];
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>l>>r;
        add(l-1,r,1);
        add(r,l-1,-1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        add(i,i-1,0),add(i-1,i,1);//i-1可能为0,所以上面最短路要从0开始跑(前后呼应~~手动滑稽)
    cout<<spfa()<<Endl;
    return 0;
}