枫林晚 的博客

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bzoj1426 收集邮票

posted on 2018-07-30 21:34:45 | under 例题 |

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题解:

k张k元不好做,先考虑每张都是1元怎么做。

设f[i]表示,已经有了i种,买到n种的期望步数,也就是期望花费。

f[i]=(i/n)(f[i]+1) + (n-i)/n(f[i+1]+1) ; ( i<n)

f[n]=0;

就是说,i/n的概率买到之前买过的邮票,(n-i)/n的概率买到新的邮票。

期望=概率X结果。理解上就是,这样的概率i/n,(n-i)/n,到达了这样的结果。就可以推出来了。

因为这个f数组,可以表示期望的步数,非常有用。以下讲解继续沿用。

然后,对于k张k元的情况,有两种做法:

(都要通过 期望=概率*事件的结果取值 来理解)

①(理解麻烦,过程简单)

设g[i]表示,从有了i种有邮票到买到n种邮票要花的钱数。

f[i]还和上面的一样。

所以,g[i]的转移是:

g[i]=i/n(g[i]+f[i]+1)+(n-i)/n(g[i+1]+f[i+1]+1)

g[n]=0;

比较难以理解。

解释:

i/n是买到自己原来买过的概率。

该种情况下,到达的结果是,还要有的g[i]花费,并且,之后期望还要买的f[i]次价格都上涨了1,总体加了f[i],再加上这次的1花费。

为什么可以认为,这一次是第一次买,花费是1呢??

我们在状态中,默认已经有了i张(从天上掉下来的,不花钱),所以,第一次买就是1元了。

或者,因为我们最后要求的是g[0],

对于g[0],第一次买花费1肯定是成立的。

所以,我们之后的所有花费,都默认第一次是1,之后计算还会加上的。

画图理解一下,g[i]的组成,黑色部分是的g[i],红色一道是增加了总体的f[i], 绿色一个点是这次操作花费的1元。

而相邻的g[i+1]->g[i]的更新时类似的。因为都加上了一个f[i+1]么,所以g[i+1]的花费1也就变成了花费2了。

之后拆开括号,移项,然后直接求。

②(理解简单,过程麻烦)

发现,假设买了k张邮票,花费就是:(k^2+k)/2 ----------------等差数列求和嘛

再确切一些,设s[i]表示,有了i种邮票,到n种邮票的步数(不是期望)

所以,f[i]=E(s[i])

所以花费的期望:E(cos)=E((s[0]^2+s[0])/2)

基于期望的线性性质,E(cos)=( E(s[0]^2)+E(s[0]) )/2

我们已经求出了f[0]=E(s[0])

所以,要求出E(s[0]^2) (注意,这个是平方的期望,不等于期望的平方!!)

设g[i]=E(s[i]^2)即从i到n步数平方的期望

因为,E((x+1)^2)=E(x^2)+2E(x)+1

所以,g[i]=i/n(E( (s[i]+1)^2 ) + (n-i)/n (E( (s[i+1]+1)^2 )

拆开它:g[i]=i/n ( g[i] + 2f[i] + 1 ) + ( n - i ) ( g[i+1] + 2 f[i+1] +1)

拆开括号,移项,然后直接求。

总结:

期望一定要小心谨慎分析,不要直觉瞎搞,设计好状态,转移。

分清楚 : 事件,概率,结果,期望。

抓住E(x+y)=E(x)+E(y) 还有: E(x)=∑pi*xi