P1595 信封问题
枫林晚
2018-04-25 11:01:57
### 题目大意：
某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有信都装错信封共有多少种不同情况。
### 分析：
方法一：递推
已经处理了f[0]~f[n-1],考虑f[n],新来了一个数n，这个数要放错位，有n-1种情况。其他的数的放置每次都有f[n-1]种情况，被n占用位置的数k，将k放在n位置，可以再多出f[n-2]种情况。
证明：可以将n位置想成是一个k的原位置，由于之前f[n-1]种情况中，不会出现让k在原位置的情况，所以现在把k放在这个n的“新”原位置上，不会将方案数重复计算。
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long f[30];
int n;
int main(){
cin>>n;
f[0]=1;
f[1]=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);
cout<<f[n];
return 0;
}
```
方法二：容斥
首先有n!种排列，减去单个信放正确的情况，每个有(n-1)!种，但是每2个信封被放重复的情况多减了，所以再加回来。再减去3个，加上4个...
dfs容斥。预处理阶乘
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long fac[30];
int n;
long long ans;
void dfs(int x,int k)
{
if(x==n+1)
{
if(k&1) ans-=fac[n-k];
else ans+=fac[n-k];
return;
}
dfs(x+1,k);
dfs(x+1,k+1);
}
int main()
{
cin>>n;
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
fac[i]=fac[i-1]*i;
dfs(1,0);
cout<<ans;
return 0;
}
```