小学生都能看懂的错排问题解析

**点赞请戳屏幕右下角粉色的圆 QwQ** 洛谷不支持 Flash 很蛋疼啊 我本来想做成交互式内容的，现在只能疯狂贴图…… --- ### 你需要知道哪些信息学知识： 递推/简单DP。没了。 --- ### 面向小学生的（并非严谨的）数学前置技能 1. 数集：一堆的**互不相同的**数放在一起。 2. 元素：数集中的一个数称为这个数集的一个元素。 3. 数学上的函数：$f(x)=$ 表达式 转化为信息学的写法长成这样： ```cpp double f(double x) { return 表达式; } ``` 4. 一一对应：通俗的说法就是一个萝卜一个坑。 数学上两个数集一一对应指的是： 有两个数集 $A$ 和 $B$， 对于 $A$ 里面任意一个数，在 $B$ 中都能找到一个数与之对应； 并且对于 $B$ 里面任意一个数，在 $A$ 中也一定能找到一个数与之对应， 那么，数集 $A$ 与数集 $B$ 一一对应。 --- ### 问题 > 有 $n$ 个箱子，颜色分别为 $1\dots n$；还有 $n$ 个球，颜色也分别为 $1\dots n$。现在要将每一个球分别放入一个箱子里，并且一个箱子里只能放一个球。  > 试求有多少种方案满足：每个箱子，和它里面球的颜色，都不一样。 > 下图使用一种不知道叫啥的线表示哪个球**不能放进**哪个箱子里（再三强调**不能放进**，有些小盆友还以为是哪个球放哪个箱子里……）。后文还会多次出现这种不知道叫啥的线。  →→此处我们把 $X$ 号球 **不能放进** $Y$ 号箱称为一组**对应关系**，简写为 $X\sim Y$（注意，这不是书上正经的讲法和符号，这里这样写只是为了方便），画在图中就用这种不知道叫啥的线。←← 于是，我们换一种方式描述题目：试求有多少种方案满足：$1\sim 1$，$2\sim 2$，……，$n\sim n$。 很多人学错排问题时，就只知道上面这种形式。然而，他们没有抓住错排问题的本质。我变一下，如果 $1\sim 2$，$2\sim 3$，……，$n-1\sim n$，$n\sim 1$，答案和上面一样吗？  一样吧？那下面这种对应关系呢？  有点乱，但答案一样吧？但是，下面这几个呢？   看起来不对劲。前者出现了一对多、多对一，后者出现了有些球和箱子没有对应。没错，答案会不一样。 那么，你搞清楚了正确定义了吗？ $\ $ 有 $n$ 个球，$n$ 个箱子。某个箱子不能放某一个球，其他球都可以放进去；反过来，某个球一定不能放进某个箱子，并且其他箱子都允许放进去。 现在要将每个球分别放进一个箱子里，一个箱子里只能放一个球。求方案数。 $\ $ --- 现在，我们进入核心部分： ### 递推式 回到开头给的题目。 数学上我们用 $D_n$ 表示有 $n$ 个球 $n$ 个箱子时的方案数。自己简单算一下可以得出 $D_1=0,$ $D_2=1,$ $D_3=2$。 我们来看下 $D_n(n\ge 4)$ 的情况。要推出怎么做，需要分类讨论。不妨分成 $n-1$ 种情况：$n$ 号球放进了 $1$ 号箱子，$n$ 号球放进了 $2$ 号箱子…… $n$ 号球放进了 $n-1$ 号箱子（现在我们在讲开头的题目，所以 $n$ 号球不能放进 $n$ 号箱子）。注意，分类讨论时要搞清楚是否涵盖了所有的情况。我们可以把所有情况列出来： > 把 $n$ 号球放进： > - $1$ 号箱子 > - $2$ 号箱子 > - …… > - $(k-1)$ 号箱子 > - **$\text{k}$ 号箱子** > - $(k+1)$ 号箱子 > - …… > - $(n-1)$ 号箱子 现在，我们只着眼于一种情况：$n$ 号球放进了 $k$ 号箱子。  现在，我们再分为两种情况：一种是 $k$ 号球放进了 $n$ 号箱子，另一种是 $k$ 号球没有放进 $n$ 号箱子。 > 把 $n$ 号球放进： > - $1$ 号箱子 > - $2$ 号箱子 > - …… > - $(k-1)$ 号箱子 > - $\text{k}$ 号箱子 > * **$\text{k}$ 号球放进了 $\text{n}$ 号箱子** > * **$\text{k}$ 号球没有放进 $\text{n}$ 号箱子** > - $(k+1)$ 号箱子 > - …… > - $(n-1)$ 号箱子 如果 $k$ 号球放进了 $n$ 号箱子：  我们可以发现，如果不看 $k$ 号球 $k$ 号箱子 $n$ 号球 $n$ 号箱子，那么，将剩下的球按规定放进剩下的箱子有 $D_{n-2}$ 种方案。 > 把 $n$ 号球放进： > - $1$ 号箱子 > - $2$ 号箱子 > - …… > - $(k-1)$ 号箱子 > - $\text{k}$ 号箱子 > * $\text{k}$ 号球放进了 $\text{n}$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-2}$ **种方案** > * $\text{k}$ 号球没有放进 $\text{n}$ 号箱子 > - $(k+1)$ 号箱子 > - …… > - $(n-1)$ 号箱子 $\ $ 为了和上面区分，这里我们描述为：如果 $k$ 号球**不能**放进 $n$ 号箱子。 动脑筋想想，这个东西是不是可以写成 $k\sim n$？（回到上面读读 $\sim$ 的定义）  我们可以发现，如果不看 $n$ 号球和 $k$ 号箱子，那么，将剩下的球按规定放进剩下的箱子有 $D_{n-1}$ 种方案。还没看懂？那我把 $k$ 号球移过来，你能不能看懂？  还没看懂？回到上面读读错排问题的正确定义。 > 把 $n$ 号球放进： > - $1$ 号箱子 > - $2$ 号箱子 > - …… > - $(k-1)$ 号箱子 > - $\text{k}$ 号箱子 > * $\text{k}$ 号球放进了 $\text{n}$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-2}$ 种方案 > * $\text{k}$ 号球没有放进 $\text{n}$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-1}$ **种方案** > - $(k+1)$ 号箱子 > - …… > - $(n-1)$ 号箱子 $\ $ 我们发现，把 $n$ 号球放进 $\text{k}$ 号箱子后的两种情况我们都能够求出答案。现在，我们可以把两者合起来！ > 把 $n$ 号球放进： > - $1$ 号箱子 > - $2$ 号箱子 > - …… > - $(k-1)$ 号箱子 > - $\text{k}$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-2}+D_{n-1}$ **种方案** > * $\text{k}$ 号球放进了 $\text{n}$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-2}$ 种方案 > * $\text{k}$ 号球没有放进 $\text{n}$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-1}$ 种方案 > - $(k+1)$ 号箱子 > - …… > - $(n-1)$ 号箱子 这个 $k$ 是一个未知数，也就是说，无论 $k=1$ 还是 $2$ 还是多少，答案是不变的！ > 把 $n$ 号球放进： > - $1$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-2}+D_{n-1}$ **种方案** > - $2$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-2}+D_{n-1}$ **种方案** > - …… > - $(k-1)$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-2}+D_{n-1}$ **种方案** > - $\text{k}$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-2}+D_{n-1}$ 种方案 > - $(k+1)$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-2}+D_{n-1}$ **种方案** > - …… > - $(n-1)$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-2}+D_{n-1}$ **种方案** 最后一步，你会了吗？ $\ $ $$\large D_1=0$$ $$\large D_2=1$$ $$\large D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})(n\ge 2)$$ --- ### 通项公式 下面这些我没有和小学生讲，错排的通项公式对小学生还是太难了一点。 $$D_n=n!\left[\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\dots+(-1)^n\frac{1}{n!}\right]$$ 还有一个原因，这东西没法子快速计算…… 顺便讲一下这东西怎样从递推式推导为通项公式的。以下内容来自维基。 设 $D_n = n!M_n$，则 $M_1 = 0, M_2 = \dfrac {1}{2}$。 当 $n\ge 3$ 时，$D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$，即 $$n!M_{n}=(n-1)\times (n-1)!M_{n-1}+(n-1)\times (n-2)!M_{n-2}=n!M_{n-1}-(n-1)!M_{n-1}+(n-1)!M_{n-2}$$ 化简得 $$nM_{n}-nM_{{n-1}}=-M_{{n-1}}+M_{{n-2}}$$ 于是 $$M_{n}-M_{{n-1}}=-{\frac {1}{n}}(M_{{n-1}}-M_{{n-2}})=...=(-{\frac {1}{n}})(-{\frac {1}{n-1}})...(-{\frac {1}{3}})(M_{2}-M_{1})=(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}$$ 所以 $$\begin{aligned}M_{{n}}-M_{{n-1}}&=(-1)^{{n}}{\frac {1}{n!}}\\M_{{n-1}}-M_{{n-2}}&=(-1)^{{(n-1)}}{\frac {1}{(n-1)!}}\\\vdots \quad &=\quad \vdots \\M_{2}-M_{1}&=(-1)^{2}{\frac {1}{2!}}\\ \end{aligned}$$ 将上面式子分边累加，得 $$M_{n}=(-1)^{2}{\frac {1}{2!}}+(-1)^{3}{\frac {1}{3!}}...+(-1)^{{n}}{\frac {1}{n!}}$$ 因此，我们得到错排的通项公式 $$D_{n}=n!M_{n}=n!\left[{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...+(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right]$$