题解 P1592 【互质】

**题目描述** 输入两个正整数n和k，求与n互质的第k个正整数。 ## 广告 [安利博客](https://87960.blog.luogu.org/#) **分析：** ~~其实并不是分析~~ ~~前人已经讲了~~ ~~和题目没有关系emmm~~ **欧拉函数**： 对于正整数n,小于n且和n互质的正整数(包括1)的个数计作phi(n); 特殊的我们有 n=1,phi(n)=1;n为素数,phi(n)=n-1; 性质： 1.n是质数的某一次方。即n=p^k(p为质数，k为大于等于1的整数)。则phi(n)=p^k-p^(k-1) 证明：只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质,而包含质数p的个数一共有p^(k-1)个。 即p,2p,3p...p^(k-1)*p 把它们去除,剩下的就是与n互质的数 把式子写成：phi(p^k)=p^k-p^(k-1)=p^k*(1-1/p) 2.若n可以分解成两个互质的整数之积,即n=p1*p2； 则phi(n)=phi(p1*p2)=phi(p1)*phi(p2) 3.任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。 n=p1^(k1) *p2^(k2) *.....*pr^(kr) 我们由性质3 得到phi(n)=phi(p1^(k1))*phi(p2^(k2))...... 再由性质2 得到phi(n)=p1^(k1) *p2^(k2) *.....*pr^(kr)*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pr); 即phi(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pr) 好,终于看完了欧拉函数,那我们最后得到的这个式子有什么用？ ~~当然是可以求出phi了啊~~ 具体怎么实现？ 代码如下 ```cpp int phi(int x) { int re=x; for(int i=2;i*i<=x;i++) { if(x%i==0) { re=re/i*(i-1); while(x%i==0)x/=i; } } if(x>1)re=re/x*(x-1); return re; } ``` 这样就可以求出我们的phi了! 还有一种方法求phi(),具体就是用线性筛法了！ //具体是运用到了欧拉函数的性质 //这里直接给出代码 具体证明过程我也不太清楚,怕误人子弟,所以不证明了。 ```cpp void getphi() { phi[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) { if(!vis[i]) { prime[++tot]=i; phi[i]=i-1; } for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++) { vis[i*prime[j]]=true; if(i%prime[j]==0) { phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break; } else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]]; } } } ``` 上面的其实和本题真的没啥关系..... 因为需要求出每一个1~n-1与n互质的数,所以可以直接暴力判gcd==1; 而欧拉函数求的是个数,并不能直接求出每一个对应的数。 还有 关于本题的做法,前面的大佬已经讲过了,所以就不讲了~~(偷懒 逃~~ -----------------AC代码----------------- ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; long long n,k,cnt,pr[10000008],tot; long long gcd(long long x,long long y){return y==0?x:gcd(y,x%y);} int main() { scanf("%lld%lld",&n,&k); for(int i=1;i<n;i++) if(gcd(i,n)==1)pr[++tot]=i; printf("%lld\n",(k-1)/tot*n+pr[k%tot]); //这里因为数据水吧,直接k%tot,如果k%tot==0,那就要加一咯~ return 0; } //数组一定要开大!! ```