题解 P2024 【食物链】

### 重写于 2018.9.13，并修改代码码风（以前的码风真是丑啊qwq） 本题解适合于并查集初学者，建议嫌文章冗长的巨佬们阅读其他题解。 ------------- ### 引入 并查集能维护连通性、传递性，通俗地说，`亲戚的亲戚是亲戚`。 然而当我们需要维护一些对立关系，比如 `敌人的敌人是朋友` 时，正常的并查集就很难满足我们的需求。 这时，`种类并查集`就诞生了。 常见的做法是将原并查集扩大一倍规模，并划分为两个种类。 在同个种类的并查集中合并，和原始的并查集没什么区别，仍然表达`他们是朋友`这个含义。 考虑在不同种类的并查集中合并的意义，其实就表达 `他们是敌人` 这个含义了。 按照并查集美妙的 `传递性`，我们就能具体知道某两个元素到底是 `敌人` 还是 `朋友` 了。 至于某个元素到底属于两个种类中的哪一个，由于我们不清楚，因此两个种类我们都试试。 具体实现，详见 `P1525 关押罪犯`。 ---------------- ### 概念解释 再来看本题，每个动物之间的关系就没上面那么简单了。 对于动物 $x$ 和 $y$，我们可能有 $x$ 吃 $y$，$x$ 与 $y$ 同类，$x$ 被 $y$ 吃。 但由于关系还是明显的，$1$ 倍大小、$2$ 倍大小的并查集都不能满足需求，$3$ 倍大小不就行了！ 类似上面，我们将并查集分为 $3$ 个部分，每个部分代表着一种动物种类。 设我们有 $n$ 个动物，开了 $3n$ 大小的种类并查集，其中 $1 \sim n$ 的部分为 $A$ 群系，$n + 1 \sim 2n$ 的部分为 $B$ 群系，$2n + 1 \sim 3n$ 的部分为 $C$ 群系。 我们可以认为 $A$ 表示中立者，$B$ 表示生产者，$C$ 表示消费者。此时关系明显：$A$ 吃 $B$，$A$ 被 $C$ 吃。 当然，我们也可以认为 $B$ 是中立者，这样 $C$ 就成为了生产者，$A$ 就表示消费者。（还有 $1$ 种情况不提及了） 联想一下 $2$ 倍大小并查集的做法，不难列举出：当 $A$ 中的 $x$ 与 $B$ 中的 $y$ 合并，有关系 $x$ 吃 $y$；当 $C$ 中的 $x$ 和 $C$ 中的 $y$ 合并，有关系 $x$ 和 $y$ 同类等等…… 但仍然注意了！我们不知道某个动物属于 $A$，$B$，还是 $C$，我们 $3$ 个种类都要试试！ 也就是说，每当有 $1$ 句真话时，我们需要合并 $3$ 组元素。 容易忽略的是，题目中指出若 $x$ 吃 $y$，$y$ 吃 $z$，应有 $x$ 被 $z$ 吃。 这个关系还能用种类并查集维护吗？答案是可以的。 若将 $x$ 看作属于 $A$，则 $y$ 属于 $B$，$z$ 属于 $C$。最后，根据关系 $A$ 被 $C$ 吃可得 $x$ 被 $z$ 吃。 既然关系满足上述传递性，我们就能放心地使用种类并查集来维护啦。 ---------------------- ### 图片解释 理论太难懂？那就结合数据和图片来解释吧！ 假如我们有以下的输入数据： ```cpp 4 5 1 1 3 2 2 4 2 3 2 1 1 4 2 2 1 ``` 因为涉及 4 个动物（$n = 4$），所以构建初始并查集如下图：  先看第 $1$ 句话：动物 $1$ 和 $3$ 是同类的。 我们可以在 $3$ 个群系中分别给 $1$ 和 $3$ 的集合合并，以表示动物 $1$ 和 $3$ 是一定友好的。  再看第 $2$ 句话：动物 $2$ 吃 $4$。 显然这不是矛盾的。但我们不知道 $2$ 和 $4$ 对应 $A$， $B$，$C$ 中的哪个，所以我们只能根据 $A$ 吃 $B$，合并 $A$ 群系中的 $2$ 和 $B$ 群系中的 $4$；再根据 $B$ 吃 $C$ 和 $C$ 吃 $A$，作出对应的处理。结果如下所示：  接着看第 $3$ 句话：动物 $3$ 吃 $2$。这是句真话，具体的真假话判断方法看下面两句话。我们暂且先作出以下处理：  第 $4$ 句话中，表明 $1$ 和 $4$ 是同类动物。此时我再解释如何判断话的真假。 对于同类动物，我们转换一下，如果我们知道 $1$ 不吃 $4$ 且 $4$ 不吃 $1$，他们不就同类了吗？ 好，那我们的任务就变成：如何判断动物 $x$ 吃动物 $y$？ 反观第 $2$ 句话，我们知道如果要表示动物 $x$ 吃动物 $y$，只要根据 $A$ 吃 $B$，把 $A$ 群系中的 $x$ 和 $B$ 群系中的 $y$ 合并即可。另外 $2$ 次合并暂不讨论。 那反过来，如果 $A$ 群系中的 $x$ 已经和 B 群系中的 $y$ 在同一集合中了，不就表示了动物 $x$ 吃动物 $y$ 吗？ 于是，我们看到上面那张图，$B$ 群系中的 $1$ 按照并查集的递归操作，找出自己的终极上级是 $A$ 群系中的 $4$。 分析其含义，属于 $B$ 群系的 $1$ 已经与 $A$ 群系的 $4$，应有 $4$ 吃 $1$，而非同类。第 $4$ 句话是假的。 那么第 $5$ 句话，$2$ 吃 $1$。我们需要判断 $2$ 和 $1$ 是否是同类并且 $2$ 是否被 $1$ 吃即可。 判断是否同类，我们同样可以反过来：判断在同个群系中的 $2$ 和 $1$ 的集合是否已经合并。 得出 $2$ 和 $1$ 不是同类后，我们再看 $1$ 是否吃 $2$。看图，$A$ 群系中的 $1$ 和 $B$ 群系中的 $2$ 在同一集合中。 得出 $1$ 吃 $2$。第 $5$ 句话也是假话。 因此，答案就是有两句假话。输出 $2$，问题完美解决。 --------------------------- ### 注意事项 - 种类并查集求的并非具体种类，而是关系！ - 在代码过程中，不要忘了特判编号大于 $n$ 的情况！ --------------------------- ### 代码实现 如果还没有理解，只能使用最终办法了，上程序！ （当然我还是希望各位摸清种类并查集的本质，灵活运用） ```cpp #include <cstdio> inline int read() { char c = getchar(); int n = 0; while (c < '0' || c > '9') { c = getchar(); } while (c >= '0' && c <= '9') { n = (n << 1) + (n << 3) + (c & 15); c = getchar(); } return n; } const int maxN = 100005; int n, m, ans, fa[maxN * 3]; int find(int u) { return fa[u] == u ? u : fa[u] = find(fa[u]); } int main() { n = read(), m = read(); for (int i = 1; i <= n * 3; i++) { fa[i] = i; } for (; m; m--) { int opt = read(), u = read(), v = read(); if (u > n || v > n) { ans++; continue; } if (opt == 1) { if (find(u + n) == find(v) || find(u) == find(v + n)) { ans++; } else { fa[find(u)] = find(v); fa[find(u + n)] = find(v + n); fa[find(u + n + n)] = find(v + n + n); } } else { if (find(u) == find(v) || find(u) == find(v + n)) { ans++; } else { fa[find(u + n)] = find(v); fa[find(u + n + n)] = find(v + n); fa[find(u)] = find(v + n + n); } } } printf("%d\n", ans); return 0; } ``` ----------------------------- ### 撰文不易，不适轻喷！