题解 P2024 【食物链】

Sooke · 2017-06-30 18:55:53 · 题解

重写于 2018.9.13，并修改代码码风（以前的码风真是丑啊qwq）

本题解适合于并查集初学者，建议嫌文章冗长的巨佬们阅读其他题解。

引入

并查集能维护连通性、传递性，通俗地说，亲戚的亲戚是亲戚。

然而当我们需要维护一些对立关系，比如 敌人的敌人是朋友 时，正常的并查集就很难满足我们的需求。

这时，种类并查集就诞生了。

常见的做法是将原并查集扩大一倍规模，并划分为两个种类。

在同个种类的并查集中合并，和原始的并查集没什么区别，仍然表达他们是朋友这个含义。

考虑在不同种类的并查集中合并的意义，其实就表达 他们是敌人 这个含义了。

按照并查集美妙的 传递性，我们就能具体知道某两个元素到底是 敌人 还是 朋友 了。

至于某个元素到底属于两个种类中的哪一个，由于我们不清楚，因此两个种类我们都试试。

具体实现，详见 P1525 关押罪犯。

概念解释

再来看本题，每个动物之间的关系就没上面那么简单了。

对于动物 x 和 y，我们可能有 x 吃 y，x 与 y 同类，x 被 y 吃。

但由于关系还是明显的，1 倍大小、2 倍大小的并查集都不能满足需求，3 倍大小不就行了！

类似上面，我们将并查集分为 3 个部分，每个部分代表着一种动物种类。

设我们有 n 个动物，开了 3n 大小的种类并查集，其中 1 \sim n 的部分为 A 群系，n + 1 \sim 2n 的部分为 B 群系，2n + 1 \sim 3n 的部分为 C 群系。

我们可以认为 A 表示中立者，B 表示生产者，C 表示消费者。此时关系明显：A 吃 B，A 被 C 吃。

当然，我们也可以认为 B 是中立者，这样 C 就成为了生产者，A 就表示消费者。（还有 1 种情况不提及了）

联想一下 2 倍大小并查集的做法，不难列举出：当 A 中的 x 与 B 中的 y 合并，有关系 x 吃 y；当 C 中的 x 和 C 中的 y 合并，有关系 x 和 y 同类等等……

但仍然注意了！我们不知道某个动物属于 A，B，还是 C，我们 3 个种类都要试试！

也就是说，每当有 1 句真话时，我们需要合并 3 组元素。

容易忽略的是，题目中指出若 x 吃 y，y 吃 z，应有 x 被 z 吃。

这个关系还能用种类并查集维护吗？答案是可以的。

若将 x 看作属于 A，则 y 属于 B，z 属于 C。最后，根据关系 A 被 C 吃可得 x 被 z 吃。

既然关系满足上述传递性，我们就能放心地使用种类并查集来维护啦。

图片解释

理论太难懂？那就结合数据和图片来解释吧！

假如我们有以下的输入数据：

因为涉及 4 个动物（n = 4），所以构建初始并查集如下图：

先看第 1 句话：动物 1 和 3 是同类的。

我们可以在 3 个群系中分别给 1 和 3 的集合合并，以表示动物 1 和 3 是一定友好的。

再看第 2 句话：动物 2 吃 4。

显然这不是矛盾的。但我们不知道 2 和 4 对应 A， B，C 中的哪个，所以我们只能根据 A 吃 B，合并 A 群系中的 2 和 B 群系中的 4；再根据 B 吃 C 和 C 吃 A，作出对应的处理。结果如下所示：

接着看第 3 句话：动物 3 吃 2。这是句真话，具体的真假话判断方法看下面两句话。我们暂且先作出以下处理：

第 4 句话中，表明 1 和 4 是同类动物。此时我再解释如何判断话的真假。

对于同类动物，我们转换一下，如果我们知道 1 不吃 4 且 4 不吃 1，他们不就同类了吗？

好，那我们的任务就变成：如何判断动物 x 吃动物 y？

反观第 2 句话，我们知道如果要表示动物 x 吃动物 y，只要根据 A 吃 B，把 A 群系中的 x 和 B 群系中的 y 合并即可。另外 2 次合并暂不讨论。

那反过来，如果 A 群系中的 x 已经和 B 群系中的 y 在同一集合中了，不就表示了动物 x 吃动物 y 吗？

于是，我们看到上面那张图，B 群系中的 1 按照并查集的递归操作，找出自己的终极上级是 A 群系中的 4。

分析其含义，属于 B 群系的 1 已经与 A 群系的 4，应有 4 吃 1，而非同类。第 4 句话是假的。

那么第 5 句话，2 吃 1。我们需要判断 2 和 1 是否是同类并且 2 是否被 1 吃即可。

判断是否同类，我们同样可以反过来：判断在同个群系中的 2 和 1 的集合是否已经合并。

得出 2 和 1 不是同类后，我们再看 1 是否吃 2。看图，A 群系中的 1 和 B 群系中的 2 在同一集合中。

得出 1 吃 2。第 5 句话也是假话。

因此，答案就是有两句假话。输出 2，问题完美解决。

注意事项

种类并查集求的并非具体种类，而是关系！
在代码过程中，不要忘了特判编号大于 n 的情况！

代码实现

如果还没有理解，只能使用最终办法了，上程序！

（当然我还是希望各位摸清种类并查集的本质，灵活运用）

#include <cstdio>

inline int read() {
    char c = getchar(); int n = 0;
    while (c < '0' || c > '9') { c = getchar(); }
    while (c >= '0' && c <= '9') { n = (n << 1) + (n << 3) + (c & 15); c = getchar(); }
    return n;
}

const int maxN = 100005;

int n, m, ans, fa[maxN * 3];

int find(int u) { return fa[u] == u ? u : fa[u] = find(fa[u]); }

int main() {
    n = read(), m = read();
    for (int i = 1; i <= n * 3; i++) { fa[i] = i; }
    for (; m; m--) {
        int opt = read(), u = read(), v = read();
        if (u > n || v > n) { ans++; continue; }
        if (opt == 1) {
            if (find(u + n) == find(v) || find(u) == find(v + n)) { ans++; }
            else {
                fa[find(u)] = find(v);
                fa[find(u + n)] = find(v + n);
                fa[find(u + n + n)] = find(v + n + n);
            }
        } else {
            if (find(u) == find(v) || find(u) == find(v + n)) { ans++; }
            else {
                fa[find(u + n)] = find(v);
                fa[find(u + n + n)] = find(v + n);
                fa[find(u)] = find(v + n + n);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}