思路概述

首先,不难想到本题可以用动态规划来解,这里就省略是如何想到动态规划的了。

Q:动态规划的状态应该如何设?

A:

观察数据范围,我们发现开一个 2000 × 2000 的数组来表示状态是没有问题的。

第一个维度,绝对用来表示是第几天,这个不用多想。

第二个维度,就需要稍微思考思考,我们发现它应该记录拥有多少张股票。

结合一下,整理出: $f_{i,j}$ 表示第 $i$ 天后拥有 $j$ 张股票可以赚到的最多钱数。

Q:动态规划的转移方程应该如何列?状态的初值怎么设?

A:

分情况讨论。某一天,要么买股,要么卖股,要么不买也不卖。而买股又可分为两个情况,要么凭空买,跟前面交不交易没有任何关系,要么在前面交易的基础上买股,通俗一点说,也就是该状态是否需要由前面的状态转移而来。

那为什么卖股不用分为两个情况呢?仔细想想,怎么能凭空卖呢?既然和前面的贸易没有关系,也就是说手上没有任何一张股票,哪来的股票用来卖?

因此,一共有四种情况,其中只有一个情况并不需要其他状态转移,单独讨论:

1 . 凭空买

仅本情况下的状态可以直接赋值,其他状态初值为 -inf,即:

$f_{i,j}=-ap_i\ \times \ j$

$(0 \leqslant j \leqslant as_i)$

下面三种情况,分别可列三个状态转移方程:

2 . 不买也不卖

最好想也最好列转移方程的一种情况,直接由上一天转移,且拥有股票数量不变。即:

$f_{i,j}$ = $max(f_{i,j}\ \,,\ \, f_{i-1,j})$

3 . 在之前的基础上买股票

这里的方程就比较复杂了,这里详细解释一下:

题目中指明说两次交易需要至少隔 $w$ 天。也就是说,今天是第 $i$ 天交易,那么上一次交易最近是在第 $i - w - 1$ 天。

可我第 $i - w - 1$ 天之前也可以交易啊?为什么偏偏是那一天,而不是第 $i - w - 2$ 天?

回看刚刚讨论的第 2 种情况,我们已经把某一天以前的最优答案转移到了该天,所以从那一天转移,相当于从那一天包括前面任何一天开始转移,省去了大把时间。

接下来,我们已知第 $i$ 天拥有 $j$ 张股票,假设第 $i - w - 1$ 天拥有 $k$ 张股票。

$k$ 一定比 $j$ 小,因为这一种情况是买股票,股票只能多。

但股票又不能买太多,限制最多为 $as$ 张。所以 $j - as_i$ 是底线。

继续,这次交易买了 $j - k$ 张股票,要花去 $(j - k) \times ap_i$ 元。

整理一下,转移方程为:

$f_{i,j}$ = $max(f_{i,j}\ \,,\ \,f_{i-w-1,k}-(j-k)\times ap_i)$

$(j - as_i \leqslant k < j)$

4 . 在之前的基础上卖股票

和上面的情况特别类似,在此简单地说一下区别。

因为是卖股票, $k$ 这次要比 $j$ 大。但要小于等于 $j + bs_i$ 。

这次交易卖了 $k - j$ 张邮票,赚得 $(k - j) \times bp_i$ 元。

整理一下,转移方程为:

$f_{i,j}$ = $max(f_{i,j}\ \,,\ \,f_{i-w-1,k}+(k-j)\times bp_i)$

$(j < k \leqslant j + bs_i)$

Q:为什么可以使用单调性优化?

A:

上面的 3,4 两种情况,列起来头头是道,但我们深入计算,发现时间复杂度是三次方级的。很显然,我们要想尽办法,把时间复杂度降到二次方级。

这个时候发现那两种情况,实际上可以使用单调性优化。此时达到降时间复杂度的目标。

就以第 3 种情况,在之前的基础上买股票为例子吧。

再重复提一下那个转移方程:

$f_{i,j}$ = $max(f_{i,j}\ \,,\ \,f_{i-w-1,k}-(j-k)\times ap_i)$

$(j - as_i \leqslant k < j)$

运用乘法分配率:

$f_{i,j}$ = $max(f_{i,j}\ \,,\ \,f_{i-w-1,k}-j\times ap_i+k\times ap_i)$

$(j - as_i \leqslant k < j)$

既然要将状态转移给 $f_{i,j}$ ,此时 $j$ 可以从 $max$ 中提取出,此时转移方程变为:

$f_{i,j}$ = $max(f_{i,j}\ \,,\ \,f_{i-w-1,k}+k\times ap_i)-j\times ap_i$

$(j - as_i \leqslant k < j)$

此时,我们发现以上的转移方程符合单调性优化的条件,故可以使用单调性优化。

没有理解地,可以这么想:由于转移有这么一个区间前提: $(j - as_i \leqslant k < j)$ ,又因为转移方程中出现了 max,也就是说转移的目的是从该区间中,找到某个最大的值,基础好的你应该已经发现这就是滑动窗口了吧?只不过放进单调队列的元素,是 $f_{i-w-1,k}+k\times ap_i$ ,但这并不影响转移。

那么第 4 种情况的转移,我就不多解释了,它的转移方程可以整理为:

$f_{i,j}$ = $max(f_{i,j}\ \,,\ \,f_{i-w-1,k}+k \times bp_i)-j \times bp_i$

$(j < k \leqslant j + bs_i)$

好像除了后面的转移区间要求,两个整理后的方程几乎都是一样的。

对了,还有一个细节,是第 3 种情况转移应该顺序,第 4 种情况转移应该逆序,这个不难理解,先自己想想吧。

代码实现

按照上面的思路,得到对应的代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define Min(x , y) ((x) < (y) ? (x) : (y))
#define Max(x , y) ((x) > (y) ? (x) : (y))

int n , m , ap , bp , as , bs , w , ans = 0 , f[2001][2001] , l , r , q[2001];
// f[i][j] 表示第 i 天后拥有 j 张股票赚的最多钱数
// l , r , q[x] 用于单调队列

int main(){
    scanf("%d%d%d" , &n , &m , &w);
    memset(f , 128 , sizeof(f)); // 128 实际上给 f 数组赋的是 -inf,可以试试看
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
        scanf("%d%d%d%d" , &ap , &bp , &as , &bs);
        for(int j = 0 ; j <= as ; j++)
            f[i][j] = -1 * j * ap; // 第 1 种情况,直接赋
        for(int j = 0 ; j <= m ; j++)
            f[i][j] = Max(f[i][j] , f[i - 1][j]); // 第 2 种情况,转移
        if(i <= w)
            continue; // 因为第 3,4 种情况都有 i - w - 1,如果 i <= w,会出现负下标
        // 第 3 种情况,从小转移到大
        l = 1 , r = 0; // 单调队列准备
        for(int j = 0 ; j <= m ; j++){
            while(l <= r && q[l] < j - as)
                l++; // 把过期的元素扔掉
            while(l <= r && f[i - w - 1][q[r]] + q[r] * ap <= f[i - w - 1][j] + j * ap)
                r--; // 更新单调队列元素
            q[++r] = j; // 插入最新元素
            if(l <= r)
                f[i][j] = Max(f[i][j] , f[i - w - 1][q[l]] + q[l] * ap - j * ap); 
            // 如果单调队列里有元素,即可转移
        }
        // 第 4 种情况,从大转移到小
        l = 1 , r = 0; // 单调队列再次准备
        for(int j = m ; j >= 0 ; j--){
            while(l <= r && q[l] > j + bs)
                l++; // 把过期的元素扔掉
            while(l <= r && f[i - w - 1][q[r]] + q[r] * bp <= f[i - w - 1][j] + j * bp)
                r--; // 更新单调队列元素
            q[++r] = j; // 插入最新元素
            if(l <= r)
                f[i][j] = Max(f[i][j] , f[i - w - 1][q[l]] + q[l] * bp - j * bp); 
            // 如果单调队列里有元素,即可转移
        }
    }
    for(int i = 0 ; i <= m ; i++)
        ans = Max(ans , f[n][i]); // 最后,可以留股票(实际上不留任何股票的就是最优答案),找出最优答案
    printf("%d\n" , ans);
    return 0;
}