题解 P3812 【【模板】线性基】

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刚刚口胡并学了线性基，就来写篇题解，记录一下。

从 n 个数中选取若干个，使他们的异或和最大。

既然是异或和，因为异或是位运算，肯定要用到二进制的。

考虑异或和的性质：对于这一位，有奇数个 1 求异或和，结果为 1；有偶数个 1 求异或和，结果为 0。这一性质告诉我们，当我们对当前位置完成决策的时候，后面所有位的异或和无论怎样也不会影响到现有结果。想到从高位到低位扫一遍，对每一位取最优决策，就是结果。

但因为每一位二进制位可能有很多 1，不方便进行决策，于是思考能不能构造一个序列，使得在这个序列中，任取若干个数求异或和的结果组成的集合，与原序列求异或和的结果组成的集合一样，且这个序列的每个数的最高位 1 所在位数不一样呢？这种情况下，我们在新序列上决策和在原数列上决策是等效的。

但是我太菜了发现并不会构造，怎么办呢？上百度搜线性基正解吧。

结果一搜发现我已经口胡出来了，愣是傻傻的不会构造 /jk /jk，那就继续说吧。

线性基就是由原数列集合构造出的满足下面性质的集合：

  1. 线性基内的元素可以通过求异或和，得到原集合的元素任意求异或和得到的所有值。
  2. 线性基是满足上面性质的最小的集合。
  3. 线性基不存在异或和为 0 的子集。
  4. 线性基中，任取不同的子集求异或和，得到的答案不同。（即线性基子集的异或和具有唯一性）
  5. 线性基内所有元素的二进制最高位互不相同。

考虑进行构造：

在线性基插入元素 x，从高位向低位扫，如果 x 二进制下该位为 1，且不存在最高位为该位的线性基元素，将其加入线性基。如果该位为 1，但已经存在元素的最高位为该位，将 x 异或上该元素，继续向后搜。

要查询最大值，从高位到低位枚举线性基中最高位为该位的元素，如果答案异或上这个数比原来的答案大，更新答案。这样因为更低位的结果无法影响当前位，因此这一方法是最优的。

代码：

//By: Luogu@rui_er(122461)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 55, bit = 50;

ll n, a, p[N];
void insert(ll k) {
    for(ll i=bit;i>=0;i--) {
        if(!(k&(1LL<<i))) continue;
        if(!p[i]) return p[i] = k, void();
        k ^= p[i];
    }
}
ll maxXor() {
    ll res = 0;
    for(ll i=bit;i>=0;i--) res = max(res, (res^p[i]));
    return res;
}

int main() {
    scanf("%lld", &n);
    while(n--) {scanf("%lld", &a); insert(a);}
    printf("%lld\n", maxXor());
    return 0;
}