rui_er 的博客

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题解 UVA1118 【Binary Stirling Numbers】

posted on 2020-09-26 10:36:08 | under 题解 |

本题为 SP106 的双倍经验。


题意:给定 $T$ 组 $(n,m)$,求 $S(n,m)$,$S$ 是第二类斯特林数。

如果你不知道第二类斯特林数是啥,可以看看百度:(经过一些修改)

第二类斯特林数实际上是集合的一个拆分,表示将 $n$ 个不同的元素拆分成 $m$ 个集合的方案数,记为 $S(n,m)$ 或者 $\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}$。

看到下面的递推式:$S(n+1,m)=S(n,m-1)+m\times S(n,m)$。

我们对其进行一些变形:

$$ \begin{aligned} S(n+1,m)=&S(n,m-1)+m\times S(n,m)&\\ S(n,m)=&S(n-1,m-1)+m\times S(n-1,m)&\\ S(n,m)\equiv&\begin{cases}S(n-1,m-1),&m\mod 2=0\\S(n-1,m-1)+S(n-1,m),&\operatorname{otherwise}\end{cases}&\pmod{2} \end{aligned} $$

就可以根据上面的表达式大致画出一个转移图:

图中对于一个点 $(n,m)$,从 $(0,0)$ 经过蓝边(向右)和粉边(向右上)到达 $(n,m)$ 的路径条数即为 $S(n,m)$,注意黑边不能经过,蓝边和粉边只能单向经过。因此 $S(n,m)\mod 2$ 就等于路径条数对二取模的余数。

路径条数怎么算呢?我们根据 $0\sim m$ 之间的蓝色边条数来分类讨论,运用一些数学计算就可以得到,发现路径条数的奇偶性与 $\frac{m+1}{2}$ 有关(因为蓝边数量仅与 $m$ 相关)。最后就可以得到结论:

$$ S(n,m)\mod 2=\begin{cases}1,&\left(n=m=0\right)\lor\left(\left(\frac{m+1}{2}-1\right)\operatorname{and}\left(n-m+\frac{m+1}{2}-1\right)=\frac{m+1}{2}-1\right)\\0,&\operatorname{otherwise}\end{cases} $$

这里我们特判一下几个特殊情况,就可以得到最终结论。

代码:

//By: Luogu@rui_er(122461)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define f(a,b) (\
(a & b) == a\
)

int T, n, m; 

int main() {
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        if(!n && !m) {
            puts("1");
            continue;
        }
        if(!n || !m || n < m) {
            puts("0");
            continue;
        }
        int a = (m + 1) / 2 - 1;
        printf("%d\n", f(a, n-m+a));
    }
    return 0;
}