题解 P4781 【【模板】拉格朗日插值】
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2018-12-04 11:34:40
## 简介
>在数值分析中,拉格朗日插值法是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。如果对实践中的某个物理量进行观测,在若干个不同的地方得到相应的观测值,拉格朗日插值法可以找到一个多项式,其恰好在各个观测的点取到观测到的值。上面这样的多项式就称为拉格朗日(插值)多项式。
## 拉格朗日插值法
众所周知,$n + 1$个$x$坐标不同的点可以确定唯一的最高为$n$次的多项式。在算法竞赛中,我们常常会碰到一类题目,题目中直接或间接的给出了$n+1$个点,让我们求由这些点构成的多项式在某一位置的取值
一个最显然的思路就是直接高斯消元求出多项式的系数,但是这样做复杂度巨大$(n^3)$且根据算法实现不同往往会存在精度问题
而拉格朗日插值法可以在$n^2$的复杂度内完美解决上述问题
假设该多项式为$f(x)$, 第$i$个点的坐标为$(x_i, y_i)$,我们需要找到该多项式在$k$点的取值
根据拉格朗日插值法
$$f(k) = \sum_{i = 0}^{n} y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - x[j]}{x[i] - x[j]}$$
乍一看可能不是很好理解,我们来举个例子理解一下
假设给出的三个点为$(1, 3)(2, 7)(3, 13)$
直接把$f(k)展开$
$f(k) = 3 \frac{(k - 2)(k - 3)}{(1 - 2)(1 - 3)} + 7\frac{(k-1)(k-2)}{(2 - 1)(2-3)} + 13\frac{(k-1)(k-2)}{(3 -1)(3-2)}$
观察不难得到,如果我们把$x_i$带入的话,除第$i$项外的每一项的分子中都会有$x_i - x_i$,这样其他的所有项就都被消去了
因此拉格朗日插值法的正确性是可以保证的
下面说一下拉格朗日插值法的拓展
### 在$x$取值连续时的做法
在绝大多数题目中我们需要用到的$x_i$的取值都是连续的,这样的话我们可以把上面的算法优化到$O(n)$复杂度
首先把$x_i$换成$i$,新的式子为
$f(k) = \sum_{i=0}^n y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - j}{i - j}$
考虑如何快速计算$\prod_{i \not = j} \frac{k - j}{i - j}$
对于分子来说,我们维护出关于$k$的前缀积和后缀积,也就是
$$pre_i = \prod_{j = 0}^{i} k - j$$
$$suf_i = \prod_{j = i}^n k - j$$
对于分母来说,观察发现这其实就是阶乘的形式,我们用$fac[i]$来表示$i!$
那么式子就变成了
$$f(k) = \sum_{i=0}^n y_i \frac{pre_{i-1} * suf_{i+1}}{fac[i - 1] * fac[N - i]}$$
**注意**:分母可能会出现符号问题,也就是说,当$N - i$为奇数时,分母应该取负号
### 重心拉格朗日插值法
再来看一下前面的式子
$$f(k) = \sum_{i = 0}^{n} y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - x[j]}{x[i] - x[j]}$$
设$g = \prod_{i=0}^n k - x[i]$
$$f(k) = g\sum_{i = 0}^{n} \prod_{i \not = j} \frac{y_i}{(k - x[i])(x[i] - x[j])}$$
设$t_i = \frac{y_i}{\prod_{j \not =i} x_i - x_j}$
$$f(k) = g\sum_{i = 0}^{n} \frac{t_i}{(k - x[i])}$$
这样每次新加入一个点的时候只需要计算它的$t_i$即可
## 应用
### 经典应用
首先讲一个经典应用:计算$\sum_{i=1}^n i^k (n \leqslant 10^{15}, k \leqslant 10^6)$
老祖宗告诉我们,这个东西是个以$n$为自变量的$k + 1$次多项式,具体证明可以看第二份参考资料
然后直接带入$k+1$个点后用拉格朗日插值算即可,复杂度$O(k)$
那具体在题目中怎么使用拉格朗日插值呢?
首先你要证明求的东西是某个多项式,判断的依据是:
![](https://ws1.sinaimg.cn/large/005S5cb6ly1fxujkvfyosj30ax01qgll.jpg)
大部分情况下归纳一下就可以了
### 题目
由易到难排列
[洛谷P4593 [TJOI2018]教科书般的亵渎](https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/10056635.html)
[BZOJ3453: tyvj 1858 XLkxc](https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/10060254.html)
[BZOJ4559: [JLoi2016]成绩比较](https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/10051210.html)
[BZOJ2655: calc](https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/10062445.html)
## 参考资料
[拉格朗日插值法](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E6%8F%92%E5%80%BC%E6%B3%95)
[差分的应用及正整数的k次方幂求和](https://pan.baidu.com/s/1SqZMrZLuOqIp1HQVQejK7g)
[拉格朗日插值法及应用](https://blog.csdn.net/qq_35649707/article/details/78018944)
[拉格朗日插值 学习笔记](http://www.ebola.pro/article/notes/Lagrange)