题解 P4781 【【模板】拉格朗日插值】

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简介

在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。如果对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。上面这样的多项式就称为拉格朗日（插值）多项式。

拉格朗日插值法

众所周知，n + 1个x坐标不同的点可以确定唯一的最高为n次的多项式。在算法竞赛中，我们常常会碰到一类题目，题目中直接或间接的给出了n+1个点，让我们求由这些点构成的多项式在某一位置的取值

一个最显然的思路就是直接高斯消元求出多项式的系数，但是这样做复杂度巨大(n^3)且根据算法实现不同往往会存在精度问题

而拉格朗日插值法可以在n^2的复杂度内完美解决上述问题

假设该多项式为f(x), 第i个点的坐标为(x_i, y_i)，我们需要找到该多项式在k点的取值

根据拉格朗日插值法

f(k) = \sum_{i = 0}^{n} y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - x[j]}{x[i] - x[j]}

乍一看可能不是很好理解，我们来举个例子理解一下

假设给出的三个点为(1, 3)(2, 7)(3, 13)

直接把f(k)展开

f(k) = 3 \frac{(k - 2)(k - 3)}{(1 - 2)(1 - 3)} + 7\frac{(k-1)(k-2)}{(2 - 1)(2-3)} + 13\frac{(k-1)(k-2)}{(3 -1)(3-2)}

观察不难得到，如果我们把x_i带入的话，除第i项外的每一项的分子中都会有x_i - x_i，这样其他的所有项就都被消去了

因此拉格朗日插值法的正确性是可以保证的

下面说一下拉格朗日插值法的拓展

在x取值连续时的做法

在绝大多数题目中我们需要用到的x_i的取值都是连续的，这样的话我们可以把上面的算法优化到O(n)复杂度

首先把x_i换成i，新的式子为

f(k) = \sum_{i=0}^n y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - j}{i - j}

考虑如何快速计算\prod_{i \not = j} \frac{k - j}{i - j}

对于分子来说，我们维护出关于k的前缀积和后缀积，也就是

pre_i = \prod_{j = 0}^{i} k - j suf_i = \prod_{j = i}^n k - j

对于分母来说，观察发现这其实就是阶乘的形式，我们用fac[i]来表示i!

那么式子就变成了

f(k) = \sum_{i=0}^n y_i \frac{pre_{i-1} * suf_{i+1}}{fac[i - 1] * fac[N - i]}

注意:分母可能会出现符号问题，也就是说，当N - i为奇数时，分母应该取负号

重心拉格朗日插值法

再来看一下前面的式子

f(k) = \sum_{i = 0}^{n} y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - x[j]}{x[i] - x[j]}

设g = \prod_{i=0}^n k - x[i]

f(k) = g\sum_{i = 0}^{n} \prod_{i \not = j} \frac{y_i}{(k - x[i])(x[i] - x[j])}

设t_i = \frac{y_i}{\prod_{j \not =i} x_i - x_j}

f(k) = g\sum_{i = 0}^{n} \frac{t_i}{(k - x[i])}

这样每次新加入一个点的时候只需要计算它的t_i即可

应用

经典应用

首先讲一个经典应用：计算\sum_{i=1}^n i^k (n \leqslant 10^{15}, k \leqslant 10^6)

老祖宗告诉我们，这个东西是个以n为自变量的k + 1次多项式，具体证明可以看第二份参考资料

然后直接带入k+1个点后用拉格朗日插值算即可，复杂度O(k)

那具体在题目中怎么使用拉格朗日插值呢？

首先你要证明求的东西是某个多项式，判断的依据是：

大部分情况下归纳一下就可以了

题目

由易到难排列

洛谷P4593 [TJOI2018]教科书般的亵渎

BZOJ3453: tyvj 1858 XLkxc

BZOJ4559: [JLoi2016]成绩比较

BZOJ2655: calc

参考资料

拉格朗日插值法

差分的应用及正整数的k次方幂求和

拉格朗日插值法及应用

拉格朗日插值 学习笔记