【高考】整理之物理中的推导

2018-08-27 20:31:51


施工中

老师总是强调要看课本,但是自以为课本阅读认真的我还是在某次上课被问住了……于是决定开个整理,写一遍就清楚地多。
不妨对照着这个表,看看你会几♂道♂题


这篇文章以推导方法将不同结论分类。
分为微元型,定义型,直接型,探究型。
一些推导会有多种方法,分类以课本使用的方法为准,不是课本上的,以作者的爱好为准。
下面的问题列表中指出了每个推导在这篇文章中所属的类别,读者可借此快速查看解法。


课本中的推导
苹果:
【定义】匀变速直线运动速度与时间的关系,即 $ v=v_0+at $
【微元】匀变速直线运动位移与时间的关系,即 $ x=v_0t+\frac{1}{2}at^2 $
【直接】匀变速直线运动速度与位移的关系,即 $ v^2-v_0^2=2ax $
【探究】由“实验:探究加速度与力,质量的关系”推导力关于质量和加速度的表达式,即 $ F=ma $
发现了没,第一册涉及到的四个推导所使用的方法就基本涵盖了高中物理中推导的大部分方法,带上物理学史的探究过程则更全。随着对课本的研究加深,我也越来越感到这个教材的优秀。
飞船:
【微元】探究向心加速度大小的表达式,即 $ a=\frac{v^2}{R} $
【探究】万有引力表达式,即 $ F=G\frac{Mm}{r^2} $
【定义】功率与速度的关系,即 $ P=Fv $
这些公式看上去基础,但不都是那么容易推导呢~

水电站:
【直接】导体棒切割磁感线产生感应电动势的表达式,即 $ E=Blv $
【定义】正弦交变电流有效值与最大值的关系,即 $ I=\frac{I_m}{\sqrt{2}} $
【探究】霍尔元件的霍尔电压的表达式,即 $ U_H=k\frac{IB}{d} $
3-2公式不多,不过都挺有意思的


定义型
最基础的推导方法,由定义找出变量之间的关系,通过数学推导得出适宜观赏且适宜计算的形式。

匀变速直线运动速度与时间的关系,即 $ v=v_0+at $
课本上是这么说的:对于匀变速直线运动,有
时间变化量 $ \Delta t=t-0 $
速度变化量 $ \Delta v=v-v_0 $
加速度 $ a=\frac{\Delta v}{\Delta t} $
解得 $ v=v_0+at $
这个推导过程看上去自然而和谐,但是我横竖也不觉得如果我独立解决这个问题,我会这么做……
可能是被试题缚束了思想,我相信大部分同学和我一样更习惯与直接法。
a 是单位时间内速度的变化量, t 是经过的时间,那么 at 就是速度变化量,再加上初速度就是t时间后的速度……

功率与速度的关系,即 $ P=Fv $
这个很好推,相信大家都会,我就不多bb了没错就是拉来凑数的
如果物体沿位移方向的受力是F,从计时开始到时刻t这段时间内,发生的位移是l,则力在这段时间所做的功 $ W=Fl $ 。
由功率的定义,有 $ P=\frac{W}{t} $ 。
t时间内物体平均速度 $ v=\frac{l}{t} $ 。
联立得 $ P=Fv $ 。

正弦交变电流有效值与最大值的关系,即 $ I=\frac{I_m}{\sqrt{2}} $
这个问题说是定义型的推导,实际上主要是数学推导。
首先要明确交变电流有效值的定义,“让交流与恒定电流分别通过大小相同的电阻,如果在交流的一个周期内他们产生的热量相等,而这个恒定电流是 I ,我们就把 I 叫做这个交流的有效值”。
为了推导方便,接下来推导电压有效值与最大值的关系,结合欧姆定律即可的出电流的关系。
正弦交变电流的电压可以表示成 $ U'=U_msin\omega t $ ,其中 $ U_m $ 表示电压最大值。那么对于电阻为 $ R $ 的纯电阻电路,在一个周期内交变电流产生的电热为 $ W'=\int_0^T\frac{U'^2}{R}dt $ 。
电压有效值产生的电热为 $ W=\frac{U^2}{R}T $ 。 由有效值的定义可得 $ W=W' $ 。
接下来计算 $ \int_0^T\frac{U'^2}{R}dt $ 。$$ \int_0^T\frac{U'^2}{R}dt=\int_0^T\frac{U_m^2sin^2\omega t}{R}dt=\frac{U_m^2}{R}\int_0^Tsin^2\omega tdt $$
$$ \int_0^Tsin^2\omega tdt=\int_0^T-\frac{1}{2}(1-2sin^2\omega t-1)dt=-\frac{1}{2}\int_0^T(cos2\omega t-1)dt=\frac{T}{2} $$
$$ \int_0^T\frac{U'^2}{R}dt=\frac{U_m^2T}{2R} $$
与有效值定义式联立即得 $ \frac{U_m^2T}{2R}=\frac{U^2T}{R} $ ,即 $ U=\frac{U_m}{\sqrt 2} $ 。


微元型
高中物理推导中很喜闻乐见的一个方法,不仅是因为它为大学学习微积分打下了一定基础,也是因为它的适用范围是如此之广,总能巧妙地化解一些棘手地问题。

匀变速直线运动位移与时间的关系,即 $ x=v_0t+\frac{1}{2}at^2 $
道理大家都懂,你会表述么?
将物体的运动分为几小段,用每小段开始时的速度乘一小段的时间近似地作为这一小段时间里物体的位移,所有小段位移的和可以近似地代表物体在整个运动过程中地位移。
当每一小段代表的时间无限接近于0的时候,所有小段位移的和就无限接近于整个运动的位移。类比梯形的面积公式,可以引申出位移与时间的关系。
图不画了,手太笨。
其实作为21世纪的高中生,我们也可以直接用一种很直接的方式推导。
$ x=\int_0^t vdt=\int_0^t (v_0+at)dt=v_0t+\frac{1}{2}at^2 $
直接积一个就可以了对吧
当然这样子并没有什么意思,微元法推导还是要学习一个的。不过如果能结合积分的意义来思考这个问题也是很好的。

探究向心加速度大小的表达式,即 $ a=\frac{v^2}{R} $
这个推导的出发点是 $ a=\frac{\Delta v}{\Delta t} $。
这里的 $ \Delta v $ 是矢量,$ \Delta t $ 可以用微元处理。
首先大致画出在一段时间 $ \Delta t $ 内,物体位置和速度的变化,然后将矢量VA平移,使其起始点为B点。

注意速度和速度变化量都是矢量。
接下来要证明 $ <\vec{V_A},\vec{V_B}>=\angle BOA $,这个易证,做垂线BH垂直于AO即可。
VA和VB的大小时相等的,圆的半径OB和OA的长度也是相等的,那么图中两个三角形是相似的,可以得到关系 $ \frac{\Delta V}{V }=\frac{|AB|}{R} $。
在匀速圆周运动中,有 $ |\widehat{AB}|=V\Delta t $。
当Δt无限接近于0时,∠θ无限接近于0,那么如果用弧度制来表示角,弧AB的长度就无限接近于线段AB的长度,即 $ |\widehat{AB}|=|AB| $ 。
联立整理即得 $ a=\frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{V^2}{R} $ 。


直接型
由已知的关系,得出新的便于使用或简洁美观的关系,很基本的数学推导,做不到的同学需要注意提高使用公式的熟练程度了。

匀变速直线运动速度与位移的关系,即 $ v^2-v_0^2=2ax $
这个大家都会,但是课本上的表述很好,反正我是达不到这种程度。
在匀变速运动中,满足关系 $ v=v_0+at $, $ x=v_0t+\frac{1}{2}at^2 $。
现在我们已知条件和所求结果都不涉及时间t,可以在上述两式中消去t,从而直接得到速度与位移的关系。
消去t即得到 $ v^2-v_0^2=2ax $。
其实我更喜欢的是用功能关系,这个多数同学应该也能想到。
物体动能变化量 $ E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2 $
合外力做功 $ W=Fx=max $
合外力做功和物体动能变化量相等 $ W=E $
联立即得 $ v^2-v_0^2=2ax $
但是在课本上提到这个推导的时候,还没有探究出力与质量和加速度的关系,所以不能使用这个方法。不过这一设计可以让注意到的同学进一步加深对功能关系的理解。

导体棒切割磁感线产生感应电动势的表达式,即 $ E=Blv $
这个比较简单,相信大家都会
当长度为 l 的直导体棒以垂直导体棒的速度 v 切割磁感线时,在 $ \Delta t $ 时间内,闭合电路的面积变化量是 $ \Delta S=lv\Delta t $ 穿过闭合电路的磁通量变化量是 $ \Delta \Phi=B\Delta S $
根据法拉第电磁感应定律,有 $ E=\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} $
联立即得 $ E=Blv $


探究型
和之前由条件推导到结论的过程不同,探究型推导主要是根据已知的关系自定义出新的关系。听上去和之前的没有什么不同?区别主要在于这一类更强调对新概念的引入和扩展,相比之前的类别来说不太像推导。

由“实验:探究加速度与力,质量的关系”推导力关于质量和加速度的表达式,即 $ F=ma $
之前的实验中,我们发现了一个一般性的规律:物体加速度的大小和它受到的作用力成正比,和它的质量成反比,即 $ a\propto \frac{F}{m} $。
这个比例式可以被写成等式 $ F=kma $。
其中 k 是比例常数。
那么 k 的值是多少呢?根据现有的知识,是1吗?
k 的值可以是任意数!只是为了计算方便,我们选取 k=1。
值得注意的是自然界本来不存在力的概念,力是人类定义的。在较早的时代还没有力的概念,许多人的研究受到了限制,人们认识力的过程不得不说是让人心驰神往科学史话。

万有引力表达式,即 $ F=G\frac{Mm}{r^2} $
书上的表述很好,我直接抄了。如果对探究的过程没有兴趣,可以看后面的太长不看版。
教材版:
令行星质量为m,速度为v,行星到太阳的距离为r,则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为 $ F=\frac{mv^2}{r} $ 。
天文观测难以直接得到行星运动的速度v,但是可以得到行星公转的周期T,他们之间的关系为 $ v=\frac{2\pi r}{T} $,把这个结果带入上式,整理得 $ F=\frac{4\pi^2 mr}{T^2} $ 。
不同行星的公转周期是不同的,F跟r关系的表达式中不应该出现周期T,所以要设法消去上式中的T。为此,把开普勒第三定律 $ \frac{r^3}{T^2}=k $ 带入得到 $ F=4\pi ^2k\cdot \frac{m}{r^2} $ 。
在这个式子中,等号右边除了m、r以外,其余都是常量,因此可以说太阳对行星的引力与行星的质量成正比,与行星和太阳间的距离的二次方成反比,即 $ F\propto \frac{m}{r^2} $ 。
太长不看版:
行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力 $ F=\frac{mv^2}{r} $
线速度 $ v=\frac{2\pi r}{T} $
开普勒第三定律 $ \frac{r^3}{T^2}=k $
联立得 $ F=4\pi ^2k\cdot \frac{m}{r^2} $
从太阳与行星相互作用的角度来看,二者的地位是相同的,也就是说对于行星对太阳的引力与太阳的质量成正比,与行星和太阳间的距离的二次方成反比,即 $ F'=4\pi ^2k\cdot \frac{M}{r^2} $ 。
太阳对行星的引力和行星对太阳的引力互为反作用力,即F和F'的大小是相等的,那么 $ F\propto \frac{Mm}{r^2}$ 。
写成等式就是 $ F=G\frac{Mm}{r^2} $。
这个问题我上课被老师提问到了,然后完全讲错……

霍尔元件的霍尔电压的表达式,即 $ U_H=k\frac{IB}{d} $
这个问题归到直接性似乎更适合一点,但是因为课本上没有给出过程就放到探究型里了。
首先需要分析这个模型,我之前理解的电荷因受到洛伦兹力偏移到霍尔元件两侧而产生电势差是不对的(看不懂没关系,反正是不对的)。某本书上的解释是,电荷受到洛伦兹力而聚集在霍尔元件的两侧,产生电场,使之后经过的电子受到的电场力和洛伦兹力平衡而做匀速直线运动,这个电场在霍尔元件两侧之间的电势差就是霍尔电压。
因为电荷均匀地分布在霍尔元件地两侧,所以其产生的电场可以看作是场强为 $ E $ 的匀强电场,电子受到电场力 $ F=Ee $ 。
接下来需要计算电子受到的洛伦兹力,其关键是计算电子的速度 $ v $ 。这个公式曾在3-1中推导过。
我们令霍尔元件的厚度为 $ h $ ,宽度为 $ d $ ,通过霍尔元件的电流为 $ I $ ,在 $ t $ 时间内通过的电荷量为 $ q $ ,电子数量为 $ n $ (每个原子提供一个自由电子),对应的原子的体积 $ V $ ,质量为 $ m $ ,密度为 $ \rho $ ,摩尔质量 $ M $ ,阿伏伽德罗常数 $ N_A $ ,那么有如下关系。
$$ q=ne, q=It $$$$ m=\rho V,n=\frac{m}{M}N_A,V=hdvt $$