快速幂和取余运算

*2018-8-28 更新* 听说有这么一种算法能够 ## 让计算机很快地求出$a^b$ 暴力相乘的话，电脑要计算 $b$ 次。用快速幂，计算次数在 $log_2(b)$ 级别，很实用。 ## 原理 I (1)如果将 $a$ 自乘一次，就会变成 $a^2$ 。再把 $a^2$ 自乘一次就会变成 $a^4$ 。然后是 $a^8$…… 自乘 $n$ 次的结果是 $a^{2^{n}}$ 。对吧…… (2)$a^xa^y = a^{x+y}$，这个容易。 (3)将 $b$ 转化为二进制观看一下： 比如 $b = (11)_{10}$ 就是 $(1011)_{2}$ 。从左到右，这些 $1$ 分别代表十进制的 $8,2,1$。可以说 $a^{11} = a^8 × a^2 × a^1$。 为什么要这样表示？因为在快速幂的过程中，我们会把 $a$ 自乘为 $a^2$，然后 $a^2$ 自乘为 $a^4$……像上面第一条说的。 ___ ___ **过程会是这样：** （好长，可以不看，如果要阅读下面的模拟过程的话，要慢慢地看噢） ·假设我们拿到了 $a$，并且 $b = 11$。想求 $a^{11}$，但是又不想乘11次，有点慢。 ·以电脑视角稍稍观察一下 $b = 11$，二进制下是 $b = 1011$。 ·制作一个 $base$。现在 $base = a$，表示的是，$a^1 = a$。待会 $base$ 会变的。 ·制作一个 $ans$，初值 $1$，准备用来做答案。 ___ ```cpp while(b > 0) { ``` ·循环一。看，$b$（二进制）的最后一位是 $1$ 吗？ 是的。这代表 $a^{11} = a^8 × a^2 × a^1$ 中的“ $× a^1$ ”存在。所以 $ ans *= base $。 ```cpp if(b & 1) ans *= base; /*关于 b & 1： “&”美名曰“按位与”。 x & y 是二进制 x 和 y 的每一位分别进行“与运算”的结果。 与运算，即两者都为 1 时才会返回 1，否则返回 0。 那么 b & 1 二进制 b = 1011 1 = 0001 b&1 = 0001 因为 1（二进制）的前面几位全部都是 0， 所以只有 b 二进制最后一位是 1 时，b & 1 才会返回 1。 挺巧妙的，并且很快。)*/ ``` ·然后 $base$ 努力上升，他通过自乘一次，使自己变成 $a^2$。 ```cpp base *= base; ``` 同时 ```cpp b >>= 1; ``` 它把（二进制的）自己每一位都往右移动了。原来的最后第二位，变成了最后第一位！$b = (101)_2$。 ```cpp } ``` ___ ·循环二，再看看 $b$，最后一位还是 $1$。这说明有“ $× a^2$ ”，$ans *= base$。 ·$base$ 继续努力，通过 $base *= base$ 让自己变成了 $a^4$。然后 $b$ 也右移 一位。$b = 10$。 ___ ·循环三，可是 $b$ 的最后一位不再是 $1$ 了，说明不存在“ $× a^4$ ”。$base$ 自我升华，达到了 $a^8$。且 $b >>= 1$。这一步中，答案没有增加，可是毕竟 $b > 0$，还有希望。 ___ ·循环四，$b$ 的最后一位是 $1$，这说明“ $×a^8$ ”的存在。$ ans *= base $。由于 $b$ 再右移一位就是 $0$ 了，循环结束。 ___ ___ 总的来说，如果 $b$ 在二进制上的某一位是 $1$，我们就把答案乘上对应的 $a^{2^{n}}$。不懂的话，请结合代码理解~ ## 实现 ```cpp int quickPower(int a, int b)//是求a的b次方 { int ans = 1, base = a;//ans为答案，base为a^(2^n) while(b > 0)//b是一个变化的二进制数，如果还没有用完 { if(b & 1)//&是位运算，b&1表示b在二进制下最后一位是不是1，如果是： ans *= base;//把ans乘上对应的a^(2^n) base *= base;//base自乘，由a^(2^n)变成a^(2^(n+1)) b >>= 1;//位运算，b右移一位，如101变成10（把最右边的1移掉了），10010变成1001。现在b在二进制下最后一位是刚刚的倒数第二位。结合上面b & 1食用更佳 } return ans; } ``` ## 原理 II 没错快速幂有很多种理解方式。 这是2017年NOIP普及组的完善程序第1题，这里提示的思路和上面不一样。  从头开始。若当前 $p$ 为偶数，咱们不着急，只需把 $x$ 自乘，然后 $ p /= 2$ （即考虑下一层，下几层会帮我们乘上 $(x^2)^{p/2}$的）。 若当前 $p$ 为奇数，说明 $x^p = x*(x^2)^{(p-1)/2}$ 中前面那个 $x$ 的存在，$ans *= x$。然后继续考虑下一层（下几层会帮我们乘上 $(x^2)^{(p-1)/2}$的）。注意，这里的 $x$ 不是指题目开始给出的 $x$，而是当前层的 $x$ 应有的值，这跟上面的 $base$ 是一样的。 ___ ____ **也是稍稍模拟一下比较好理解。** ·假设我们拿到了 $x = 3$，并且 $p = 11$。想求 $3^{11}$。 ·第一层循环。$b = 11$，一个奇数。将 $3^{11}$ 分解为 $3^1 * (3^2)^5$ 来看。本层只需把 $ans *= 3^1$。那后面的呢？我们到下一层再搞定。下几层的总目标是让 $ans *= (3^2)^5$，也就是让 $ans *= 9^5$。**来到下一层的方法是 $x = 3*3 = 9$ 且 $b = 11 / 2 = 5$。** ·第二层循环几乎独立于第一层存在。$b = 5$，一个奇数。将 $9^{5}$ 分解为 $9^1 * (9^2)^2$ 来看。本层只需把 $ans *= 9^1$。那后面的呢？我们到下一层再搞定。下几层的总目标是让 $ans *= (9^2)^2$，也就是让 $ans *= 81^2$。于是 $x = 9*9 = 81$ 且 $b = 5 / 2 = 2$。 ·第三层循环，$b = 2$，不是奇数，不着急，只把 $81^2$ 当作 $(81^2)^1$。下几层的总目标是让 $ans *= (81^2)^1$。于是 $x = 81 * 81 = 6561$，$b = 2 / 2 = 1$。 ·第四层循环，$b = 1$，是奇数。这时候已经不用看成什么分解了，$ans *= 6561$ 就可完成总目标。$b / 2$ 为 $0$。结束循环。 ___ ___ 代码和上面一样。因为 $b \& 1$ 与 $b \mod 2 == 1$ 等效。$b /= 2$ 与 $b >>= 1$ 等效。  ## 取余运算 快速幂经常要结合取余运算。这里也讲一点。 取余运算有一些好用的性质，包括： $(A+B) \mod b = (A \mod b + B \mod b) \mod b$ $(A×B) \mod b = ((A \mod b) × (B \mod b)) \mod b$ 证明都很简单，如果要说服自己的话拿起笔试试吧。可设 $A = k_A × b + R_A$…… 于是快速幂过程中可以 ```cpp while(b > 0) { if(b & 1) { ans *= base; ans %= m; } base *= base; base %= m; b >>= 1; } ``` 能保证这样下来最后的结果与“先乘到最后，再取余”的结果一样。