题解 P4577 【[FJOI2018]领导集团问题】

楼上两篇题解写的有一点点复杂，有map还写了离散化…… 差分固然是一种理解方式，但其实有一种更好的理解方法和更简洁的代码。 那么现在我就来讲一讲 ### 题意简述 文字语言：求树上最大权值随祖孙关系不降的点集大小 数学语言：求 $|S_{max}|$ 使得 $\forall{i,j(ancestor\ of \ i)\in S}, w_i\leq w_j$ 为了方便描述，我们定义这种集合为“树上LIS”。 ### 题解 考虑采用数学归纳法 类似处理序列LIS问题，对于每一个点 $u$ 使用multiset维护一个集合 $f_u$ 满足以下性质 - $f_{u,i}$ 表示在 $u$ 的子树中选择 $i$ 个点组成的所有树上LIS中，级别值 $w$ 最小值最大的那一个。 - 以 $u$ 为根节点的 $ans_u=|f_u|$（$|f_u|$表示集合 $f_u$ 的大小）（该性质可由上述性质发现） 对于任意一个叶子节点 $u$, $f_u$显然只含有 $w_u$，满足树上LIS性质。 再考虑不是叶子节点的 $u$ 假设点 $u$ 的所有孩子 $v$ 的 $f_v$ 已经满足求出并满足上述性质，我们应该如何求出 $u$ 的 $f_u$ 呢？ 首先，显然 $u$ 的所有孩子不会相互影响，要从以 $u$ 为根节点的子树（除 $u$ ）中选出大小为 $i$ 的树上LIS，可以直接贪心地选所有孩子集合中最大的 $i$ 个，于是只需将全部 $f_v$ 取并集并排序即可，于是可以直接将孩子们的 $f_v$ 集合全部启发式合并丢入 $f_u$ 的multiset ，记 $S=\bigcup_{v\in u.son}f_v$ 现在我们考虑将 $u$ 加入 $S$ 集合并使集合满足性质 我们直接在multiset上二分出第一个 $i$ 满足 $f_{u,i}\geq w_u$ 那么我们将 $u$ 接在 $i$ 前显然是最优方案，此时 $f_{u,i-1}$ 就可以被 $w_u$ 替换，那么现在的集合就是我们要求的 $f_u$，并且满足树上LIS性质。 按照这样的方式在树上dfs即可求出 $f_1$，此时答案即为 $|f_1|$。 ### 复杂度证明 该算法的复杂度为 $O(nlog^2n)$ 考虑同样采用数学归纳法 记 $T_u$ 表示处理出 $f_u$ 的时间复杂度，$S_u$表示 $u$ 的子树大小 我们需要证明 $T_u=S_ulog^2S_u$ 对于任意一个叶子节点 $u$，$S_u=1$，此时只需在multiset中插入 $w_u$ 复杂度为 $O(1)$，满足$T_i=S_ulog^2S_u$ 再考虑不是叶子节点的 $u$ 假设点 $u$ 的所有孩子 $v$ 的 $T_v=S_vlog^2S_v$ 那么 $T_i=\sum_{v\in u.son}T_v+T_{merge}$ 因为子孙们包含的节点个数$\sum_{v\in u.son}S_v+1=S_u$ 所以$\sum_{v\in u.son}T_v\leq S_ulog^2S_u$ 启发式合并的复杂度为 $S_ulogS_u$，使用multiset维护加一个log，$T_{merge}=S_ulog^2S_u$ 所以$T_u$与 $S_ulog^2S_u$ 同阶 证毕。 ### 代码 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 2e5 + 5; multiset<int> f[N]; multiset<int>::iterator it; int n, w[N], ans; int h[N], to[N], nxt[N], t; bool comp(int x, int y) { return w[x] < w[y]; } void add(int u, int v) { to[++t] = v, nxt[t] = h[u], h[u] = t; } void merge(int u, int v) { if(f[u].size() < f[v].size()) swap(f[u], f[v]); for(it = f[v].begin(); it != f[v].end(); ++it) f[u].insert(*it); } void dfs(int u) { for(int i = h[u]; i; i = nxt[i]) dfs(to[i]), merge(u, to[i]); f[u].insert(w[u]); it = f[u].lower_bound(w[u]); if(it != f[u].begin()) f[u].erase(--it); } int main() { scanf("%d", &n); for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &w[i]); for(int i = 2; i <= n; ++i) { int f; scanf("%d", &f); add(f, i); } dfs(1); printf("%d", f[1].size()); } ```