题解 P1516 【青蛙的约会】

很容易想到，如果他们相遇，他们初始的位置坐标之差$x-y$和跳的距离$(n-m)t$（设$t$为跳的次数）之差应该是模纬线长$l$同余的，即$(n-m)t\equiv x-y(\mod l)$ 转化一下，不就变成了让我们求一个不定方程$(n-m)t+kl=x-y(k\in \mathbb Z)$中$t$的最小非负整数解么？ 设$a=n-m,b=l,c=x-y$，把它转化成我们比较熟悉的一般不定方程的形式$ax+by=c$（此式的$x,y$与题目给的坐标意义不同） 首先，设$g=\gcd(a,b)$我们可以通过扩欧求出$ax_0+by_0=g$中$x_0$的一个解 这时，因为$\frac{ax+by}g$为整数，所以$\frac c g$也必须是整数，否则无解 否则，等式两边同乘$\frac cg$，得$a\frac{cx_0}g+b\frac{cy_0}{g}=c$ 那么，$x=\frac{cx_0}g$就是$ax+by=c$中$x$的一个解 如何由一个解得到其它解呢？有一个恒等式$a(x+db)+b(y-da)=c$ 在保证$db,da$都是整数的情况下，我们让$d$最小，就可以得到所有的整数解，那么$d=\frac 1g$ 如果解出的$x>0$，那么最小非负整数解等于$x\mod\frac b g$；否则等于$x\mod\frac b g+\frac b g$ 代码就可以直接写`(x%(b/g)+b/g)%(b/g)` 然后就可以交上去了，发现获得了70分 怎么回事？因为$\gcd$只对非负整数有意义，所以如果$a<0$等式两边要同时取负，$a,c$都要变成相反数；$b$本来就是正数，不用变也不能变。 总之，虽然是裸的exgcd题，但是很容易被细节实现坑到，尤其是求最小非负整数解和处理$a$为负数的地方。 ```cpp #include<cstdio> #define LL long long LL x,y,m,n,l,a,b,c,x0,y0,g,tmp; void exgcd(LL a,LL b){ if(!b){x0=1;g=a;return;}//顺便求gcd exgcd(b,a%b); tmp=x0;x0=y0;y0=tmp-a/b*y0; } int main(){ scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l); a=n-m;b=l;c=x-y; if(a<0)a=-a,c=-c;//处理a为负数情况 exgcd(a,b); if(c%g)puts("Impossible"); else printf("%lld\n",(c/g*x0%(b/g)+b/g)%(b/g));//求最小非负整数解 return 0; } ```