CF149D Coloring Brackets(区间dp,记忆化搜索)

2018-02-06 14:26:23


刷区间dp的时候刷到的好题,安利一波这个系列:https://www.luogu.org/blog/hhz6830975/kuangbin-dai-ni-fei-zhuan-ti-er-shi-er-ou-jian-dp

设$dp[l][r][x][y]$为区间$[l,r]$两端颜色分别为$x$、$y$的方案数(0为不染色,1为红色,2为蓝色)

对于$dp[l][r][x][y]$,<font color=#A52A2A>若保证$[l,r]$为一个合法的序列</font>,则:

1.若$l+1=r$,显然序列为

$$()$$

则有

dp[l][r][0][1]=dp[l][r][0][2]=dp[l][r][1][0]=dp[l][r][2][0]=1;

2.若括号$l$与$r$配对,则对应的序列为

$$(...)$$

那么有

for(int i=0;i<=2;i++)
    for(int j=0;j<=2;j++){
        if(j!=1) dp[l][r][0][1]=(dp[l][r][0][1]+dp[l+1][r-1][i][j])%mod;
        if(j!=2) dp[l][r][0][2]=(dp[l][r][0][2]+dp[l+1][r-1][i][j])%mod;
        if(i!=1) dp[l][r][1][0]=(dp[l][r][1][0]+dp[l+1][r-1][i][j])%mod;
        if(i!=2) dp[l][r][2][0]=(dp[l][r][2][0]+dp[l+1][r-1][i][j])%mod;
    }

3.若括号$l$与$r$不配对,则对应的序列为

$$(...)...(...)$$

设与括号$l$配对的括号为$match[l]$,则有

for(int i=0;i<=2;i++)
    for(int j=0;j<=2;j++)
        for(int p=0;p<=2;p++)
            for(int q=0;q<=2;q++){
                if((j==1&&p==1)||(j==2&&p==2)) continue;
                dp[l][r][i][q]=(dp[l][r][i][q]+dp[l][match[l]][i][j]*dp[match[l]+1][r][p][q]%mod)%mod;
            }

以上为状态转移方式

需要注意的是,本题不采用一般的dp顺序,而是使用记忆化搜索

原因在于本题要求配对的括号有且只有一个染色,但按一般的方式难以保证配对的括号在同一区间内,即不能保证转移中用到的序列都是合法的,处理比较麻烦

而采用记忆化搜索的方式,所有操作都是在原来的合法序列上增加/删除一对括号,或是将合法序列分割成两个合法序列/将两个合法序列合并,得到的仍然是合法序列,处理起来就方便得多;而且还不需要考虑不合法的状态,时间上也得到优化

代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stack>
using namespace std;
const int maxn=710;
const int mod=1e9+7;
int n,match[maxn];
long long dp[maxn][maxn][3][3];
char s[maxn];
stack <int> St;

void dfs(int l,int r){
    if(l+1==r) dp[l][r][0][1]=dp[l][r][0][2]=dp[l][r][1][0]=dp[l][r][2][0]=1;
    else if(match[l]==r){
        dfs(l+1,r-1);
        for(int i=0;i<=2;i++)
            for(int j=0;j<=2;j++){
                if(j!=1) dp[l][r][0][1]=(dp[l][r][0][1]+dp[l+1][r-1][i][j])%mod;
                if(j!=2) dp[l][r][0][2]=(dp[l][r][0][2]+dp[l+1][r-1][i][j])%mod;
                if(i!=1) dp[l][r][1][0]=(dp[l][r][1][0]+dp[l+1][r-1][i][j])%mod;
                if(i!=2) dp[l][r][2][0]=(dp[l][r][2][0]+dp[l+1][r-1][i][j])%mod;
            }
    }
    else{
        dfs(l,match[l]),dfs(match[l]+1,r);
        for(int i=0;i<=2;i++)
            for(int j=0;j<=2;j++)
                for(int p=0;p<=2;p++)
                    for(int q=0;q<=2;q++){
                        if((j==1&&p==1)||(j==2&&p==2)) continue;
                        dp[l][r][i][q]=(dp[l][r][i][q]+dp[l][match[l]][i][j]*dp[match[l]+1][r][p][q]%mod)%mod;
                    }
    }
}

int main(){
    scanf("%s",s);
    n=strlen(s);
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(s[i]=='(') St.push(i);
        else match[St.top()]=i,match[i]=St.top(),St.pop();
    }
    dfs(0,n-1);
    long long ans=0;
    for(int i=0;i<=2;i++)
        for(int j=0;j<=2;j++)
            ans=(ans+dp[0][n-1][i][j])%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}