P3195 [HNOI2008]玩具装箱TOY(斜率优化入门)
hhz6830975
2018-01-18 14:07:54
这是一道经典的斜率优化入门题,就用这题来作个总结好了
前言:斜率优化的思想其实和高中数学的线性规划有相似之处,因此建议没学过的同学先了解一下线性规划
首先提一下单调队列优化:
当dp方程为$dp[i]=a[i]+b[j]$时,这个方程是$O(n^2)$的
这时用单调队列可以将其优化为$O(n)$,具体方法这里不再赘述
而dp方程为$dp[i]=a[i] \cdot b[j]+c[i]+d[j]$时,由于存在$a[i] \cdot b[j]$这个既有$i$又有$j$的项,以上方法就不适用了,这时就需要使用斜率优化
回到本题,设前缀和为$sum[i]$,由题意易得dp方程:
$$dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]+i-sum[j]-j-L-1)^2) (j<i)$$
但这个方程是$O(n^2)$的,显然不满足要求,因此需要进行优化
(以下称两点斜率为$slope(A,B)$)
令$a[i]=sum[i]+i$,$b[i]=sum[i]+i+L+1$(这一步是为了简化计算)
则
$$dp[i]=dp[j]+(a[i]-b[j])^2$$
展开得
$$dp[i]=dp[j]+a[i]^2-2 \cdot a[i] \cdot b[j]+b[j]^2$$
移项得
$$2 \cdot a[i] \cdot b[j]+dp[i]-a[i]^2=dp[j]+b[j]^2$$
将$b[j]$看作$x$,$dp[j]+b[j]^2$看作$y$,这个式子就可以看作一条斜率为$2 \cdot a[i]$的直线
而对于每个$i$来说,$a[i]$都是确定的
接下来的步骤和线性规划很相似
$dp[i]$的含义转化为:当上述直线过点$P(b[j],dp[j]+b[j]^2)$时,直线在$y$轴的截距加上$a[i]^2$(一个定值)
而题目即为找这个截距的最小值
因此,类似线性规划,我们将这条直线从下往上平移,直到过一个符合要求的点时停下,此时截距即为最小
画出图像如下(红色为目标直线)
![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/pic/13267.png)
结合图像分析可知,本题中可能为最优的$P$点(图中用直线连接)组成了一个下凸包(其他题目可能不同,结合图像具体分析)
显然,凸包中相邻两点斜率是单调递增的
而目标直线的斜率$2 \cdot a[i]$也是单调递增的
由图像又易知,满足条件的最优$P_j$为第一个$slope(P_j,P_{j+1}) > 2 \cdot a[i]$的点
因此,我们用单调队列维护这个凸包:
设队首为$head$,队尾为$tail$
1. 对队首:
$$while(slope(P_{head},P_{head+1})<2 \cdot a[i])\quad head++$$
2. 此时队首的点即为最优,根据它计算出$dp[i]$
3. 对队尾:
$$while(slope(P_{tail-1},P_{tail})>slope(P_{tail-1},P_i)\quad tail--$$
4. 在队尾插入$P_i$
解释:
若$slope(P_j,P_{j+1})<2 \cdot a[i]$,显然$P_j$不是最优通过步骤1删去
因为目标直线斜率单调递增,所以当前删去的$P_j$一定对之后的$dp[i]$也不是最优,不会造成影响
而操作3的理由如下:
![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/pic/13443.png)
图中红色的点为$P_i$
显然,满足操作3的要求时,$P_{tail}$在凸包内部,一定不是最优,因此可以删去
以上即为本题算法
要注意,初始化时要加入单调队列的点为$P_0$而不是$P_1$(否则就变成了第一个物品必须单独装)
代码:
```cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef double db;
typedef long long LL;
const int maxn=50010;
int n,L;
db sum[maxn],dp[maxn];
int head,tail,Q[maxn];
inline db a(int i){return sum[i]+i;}
inline db b(int i){return a(i)+L+1;}
inline db X(int i){return b(i);}
inline db Y(int i){return dp[i]+b(i)*b(i);}
inline db slope(int i,int j){return (Y(i)-Y(j))/(X(i)-X(j));}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&L);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lf",&sum[i]);
sum[i]+=sum[i-1];
}
head=tail=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
while(head<tail&&slope(Q[head],Q[head+1])<2*a(i)) ++head;
dp[i]=dp[Q[head]]+(a(i)-b(Q[head]))*(a(i)-b(Q[head]));
while(head<tail&&slope(i,Q[tail-1])<slope(Q[tail-1],Q[tail])) --tail;
Q[++tail]=i;
}
printf("%lld\n",(LL)dp[n]);
return 0;
}
```