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最小树形图-朱刘算法-学习笔记-解题报告-P4716

题意

给定一张有向图,求出以给定节点为根的最小树形图;树形图的定义是,从根节点出发可以到达所有其他点(所以图首先要联通)

实现

总的来说:

  1. 求最短弧集合E;

  2. 判断集合E中有没有有向环,如果有转步骤3,否则转4;

  3. 收缩点,把有向环收缩成一个点,并且对图重新构建,包括边权值的改变和点的处理,之后再转步骤1;

  4. //展开收缩点,求得最小树形图;

  (1)求最短弧集合E0.

  从所有以Vi(i ≠ 0)为终点的弧中取一条最短的,若对于点i,没有入边,则不存在最小树形图,算法结束;如果能取,则得到由n个点和n-1条边组成的图G的一个子图G',这个子图的权值一定是最小的,但是不一定是一棵树.

        for(ri i=1; i<=n; ++i) ine[i]=inf;  // 初始化
        for(ri i=1; i<=m; ++i)
        {
            int u=e[i].u,v=e[i].v;
            if(u!=v&&e[i].w<ine[v])  // 遍历所有边,对每个点找到最小的入边
                ine[v]=e[i].w,pre[v]=u;
        }

找到以每个点为终点的边的最小值并记录;根没有入边;被缩的点忽略;如果从一个点没有入边,一定不存在树形图;

  (2)检查E0.

  若E0没有有向环且不包含收缩点,则计算结束,E0就是G以V0为根的最小树形图,若E0没有有向环,但是存在收缩点,转到步骤(4),若E0含有有向环,则转入步骤(3).

如果没有环,那么选出来的就是树形图;否则就要缩点;

        for(ri i=1; i<=n; ++i) vis[i]=id[i]=0;
        for(ri i=1; i<=n; ++i)
        {
            if(i==root) continue;
            ans+=ine[i];
            int v=i;
            while(vis[v]!=i&&!id[v]&&v!=root)  // 找环
            {
                vis[v]=i;
                v=pre[v];
            }
            if(!id[v]&&v!=root)
            {
                id[v]=++cnt;  // 把环上的店标记为同一点
                for(ri u=pre[v]; u!=v; u=pre[u])
                    id[u]=cnt;
            }
        }

一定要记录cnt或开一个bool数组记录走过的边,不然可能疯狂走环;

  (3)收缩G中的有向环.

  把G中的环C收缩成点u,对于图G中两端都属于C的边就会被收缩掉,其他弧仍然保留,得到一个新的图G1,G1中以收缩点为终点的弧的长度要变化,变化的规则是:设点v在环C中,且环中指向v的边的权值为w,点v'不在环C中,则对于G中的每一条边<v', v>,在G1中有边<v', u>和其对应,且权值WG1(<v', u>) = WG(<v', v>) - w;对于图G中以环C中的点为起点的边<v', v>,在图G1中有边<u, v'>,则WG1(<u, v'>) = WG(<v', v>).有一点需要注意,在这里生成的图G1可能存在重边.

  对于图G和G1:

  <1>:如果图G1中没有以v0为根的最小树形图,则图G也没有.

  <2>:如果G1中有一v0为根的最小树形图,则可按照步骤(4)的展开方法得到图G的最小树形图.

  所以,应该对于图G1代到(1)中反复求其最小树形图,直到G1的最小树形图u求出.

缩环的时候记得加入答案,环上的出边直接接上,入边要注意,选一条入边相当于删掉一条环边,所以加入入边的权值为$w-ine[v]$

  (4)展开收缩点.

扩展:无根树的树形图

以写挂了的HDU2121为例

不限定根结点的树形图,我们可以虚拟一个0号根节点,并向各个点连一条权值为$sum(w)+1$的边,因为权值很大,所以最终结果一定只包含一条这样的边;但是如果答案大于$sum+sum+1$,其实是无解的,这样相当于两个点不联通,只好多选一条大边;否则答案是$ans-sum-1$

如果要输出编号最小的根节点,多解的情况一定是有环,而超级源点最后选择的一条出边一定就是最优解(多加的边按照点的编号排序);所以我们就在找边的时候加上一句就好了;

if (u == root) pos = i;

那么答案即为pos-m-1(pos为边的编号)

易错

1.非常重要,不然T飞:在判环时一定要加上cnt计数,并在cnt>n时break;否则就开一个bool数组记录是否经过该点;不然可能会有一个环然后就在里面不停转;

2.缩点时,变量名不要写错……

代码

struct Edge
{
    int u,v,w;
} e[M];
const int inf=2e9;
int n,m,root;
int pre[N],ine[N];
int vis[N],id[N];
int zhuliu()
{
    int ans=0;
    while(1)
    {
        for(ri i=1; i<=n; ++i) ine[i]=inf;  // 初始化
        for(ri i=1; i<=m; ++i)
        {
            int u=e[i].u,v=e[i].v;
            if(u!=v&&e[i].w<ine[v])  // 遍历所有边,对每个点找到最小的入边
                ine[v]=e[i].w,pre[v]=u;
        }
        for(ri i=1; i<=n; ++i)  // 判定无解
            if(i!=root&&ine[i]==inf) return -1;
        int cnt=0;
        for(ri i=1; i<=n; ++i) vis[i]=id[i]=0;
        for(ri i=1; i<=n; ++i)
        {
            if(i==root) continue;
            ans+=ine[i];
            int v=i;
            while(vis[v]!=i&&!id[v]&&v!=root)  // 找环
            {
                vis[v]=i;
                v=pre[v];
            }
            if(!id[v]&&v!=root)
            {
                id[v]=++cnt;  // 把环上的店标记为同一点
                for(ri u=pre[v]; u!=v; u=pre[u])
                    id[u]=cnt;
            }
        }
        if(cnt==0) break; // 无环,得到解
        for(ri i=1; i<=n; ++i)
            if(!id[i]) id[i]=++cnt;
        for(ri i=1; i<=m; ++i)
        {
            int u=e[i].u,v=e[i].v;
            e[i].u=id[u],e[i].v=id[v];
            if(id[u]!=id[v]) e[i].w-=ine[v]; // 修改边权
        }
        root=id[root];
        n=cnt;
    }
    return ans;
}

2018-07-10 20:27:22 in 学习笔记