ez_lcw 的博客

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扩展kmp——神奇的字符串匹配

posted on 2019-03-15 14:02:15 | under 未分类 |

一、引言

一个算是冷门的算法(在竞赛上),不过其算法思想值得深究。

二、前置知识

  1. kmp的算法思想,具体可以参考这篇日报

  2. trie树(字典树)

三、经典扩展kmp模板问题:

扩展kmp的模板问题:

给你两个字符串s,t,长度分别为n,m。

请输出s的每一个后缀与t的最长公共前缀。

哈希是不可能的,这辈子都不可能的。

$\mathcal{AC}$自动机?好像更不可做了。

我们先定义一个:$extend[i]$表示$S[i...n]$与$T$的最长公共前缀长度,而题意就是让你求所有的$extend[i]$。

注:以下字符串均从1开始计位。

例子:

如果$S=aaaaaaaaaabaa$,$n=13$

$T=aaaaaaaaaaa$,$m=11$

由图可知,$extend[1]=10$、$extend[2]=9$。

我们会发现:在求$extend[2]$时,我们耗费了很多时间,但我们可以利用$extend[1]$来更快速地求解:

因为已经计算出$extend[1]=10$。

所以有:$S[1...10]=T[1...10]$

然后得:$S[2...10]=T[2...10]$

因为计算$extend[2]$时,实际上是$S[2...n]$和$T$的匹配,

又因为刚刚求出了$S[2...10]=T[2...10]$,

所以匹配的开头阶段是求$T[2...10]$与$T$的匹配。

这时我们可以设置辅助参数:$next$,$next[i]$表示$T[i,m]$与$T$的最长公共前缀长度。

那么对于上述的例子:$next[2]=10$

即:$T[2...11]=T[1...10]$

然后得:$T[2...10]=T[1...9]$

$∴S[2...10]=T[2...10]=T[1...9]$

也就是说求$extend[2]$的匹配的前9位已经匹配成功了,不用再匹配一遍了,可以直接从$S[11]$和$T[10]$开始匹配,这样我们就省下了很多时间。

这其实就是kmp的思想。

对于一般情况:

设$extend[1...k]$已经算好,并且在以前的匹配过程中在S串中的最远位置是$p$,即$p=max(i+extend[i]-1)$,其中$i=1...k$。

然后我们设取这个最大值k的位置是$p0$。

首先,根据定义,$S[p0...p]=T[1...p-p0+1]$。

我们设$T[k-p0+1]$在$T$串中对应的位置为$a$,$T[k-p0+2]$在$T$串中所对应的位置为$b$。(仅仅是为了下面的讲解方便)

然后令$L=next[b]$。

下面分两种情况讨论:

第一种情况:$k+L<p$

也就是$S[k+L]$这个位置在$p$前面,如图:

我们设$l1=1$,$r1=L$,$l2=b$,$r2=b+L-1$。($b$的定义在上一张图)

此时$l1$、$r1$、$l2$、$r2$的位置如图所示。

也就是说,$T[l1...r1]=T[l2...r2]$。

即$\color{red}{\text{红线}}$与$\color{green}{\text{绿线}}$与$\color{blue}{\text{蓝线}}$相等。

然后由$next$的定义可知,$T[r1+1]!=T[r2+1]$。

又因为$T[r2+1]=S[k+L+1]$

所以$T[r1+1]!=S[k+L+1]$,这两个字符不一样。

又因为$\color{red}{\text{红线}}$与$\color{blue}{\text{蓝线}}$相等,这两条线已经匹配成功。

所以$extend[k+1]=L$,也就是$next[b]$。

所以这段的代码比较简单:

if(i+nxt[i-p0]<extend[p0]+p0)extend[i]=nxt[i-p0];
//i相当于k+1
//nxt[i-p0]相当于L
//extend[p0]+p0相当于p
//因为在代码里我是从0开始记字符串的,所以本应在小于号左侧减1,现在不用了。

第二种情况:$k+L>=p$

也就是$S[k+L]$这个位置在p前面,如图:

图可能略丑

同样,我们设$l1=1$,$r1=L$,$l2=b$,$r2=b+L-1$。

此时$l1$、$r1$、$l2$、$r2$的位置如图所示。($r1$的位置可能在$p-p0+1$前或后)

同理,$\color{red}{\text{红线}}$与$\color{green}{\text{绿线}}$与$\color{blue}{\text{蓝线}}$相等。

那么我们设$(k+L)$到$p$的这段距离为$x$。

那么$S[k+1...(k+L)-x+1]=S[k+1...p]$。

又因为:

$T[l1...r1-x+1]=T[l2...r2-x+1]=S[k+1...(k+L)-x+1]$

即$\color{blue}{\text{S1}}\color{black}{=}\color{red}{\text{S2}}\color{black}{=}\color{green}{\text{S3}}$。

所以$T[l1...r1-x+1]=S[k+1...p]$,

也就是说$T[1...r1-x+1]=S[k+1...p]$,这一段已经匹配成功了。

即$\color{blue}{\text{S1}}$与$\color{red}{\text{S2}}$是相等的,已经匹配成功了。

那么我们就可以从$S[p+1]$和$T[r1-x+2]$开始暴力匹配了,无需再考虑前面的东西。

那么这段的代码长这样:

int now=extend[p0]+p0-i;
now=max(now,0);//这里是防止i>p
while(t[now]==s[i+now]&&now<(int)t.size()&&now+i<(int)s.size())now++;//暴力求解的过程
extend[i]=now;
p0=i;//更新p0

求$next$

求$extend$的大部分过程已经完成了,现在就剩怎么求$next$了,我们先摸清一下求$next$的本质:

求T的每一个后缀与T的最长公共前缀长度

听起来好熟悉,我们再看一下题面:

求S的每一个后缀与T的最长公共前缀长度

我们发现求$next$的本质和求$extend$的本质是一样的,所以我们直接复制重新打一遍就好了。

这其实和$kmp$的思想很相似,因为$kmp$也是自己匹配一遍自己,再匹配文本串。

要注意的一点是:求$next$时我们要从第2位(也就是代码中的第1位)开始暴力,这样能防止求$next$时引用自己$next$值的情况。

时间复杂度

因为求$next$的时间复杂度是$O(m)$,求$extend$的时间复杂度是$O(n)$,所以总时间复杂度:$O(n+m)$,即$S$串与$T$串的长度之和。

Code

#include<bits/stdc++.h>

#define N 1000010 

using namespace std;

int q,nxt[N],extend[N];
string s,t;

void getnxt()
{
    nxt[0]=t.size();//nxt[0]一定是T的长度
    int now=0;
    while(t[now]==t[1+now]&&now+1<(int)t.size())now++;//这就是从1开始暴力
    nxt[1]=now;
    int p0=1;
    for(int i=2;i<(int)t.size();i++)
    {
        if(i+nxt[i-p0]<nxt[p0]+p0)nxt[i]=nxt[i-p0];//第一种情况
        else
        {//第二种情况
            int now=nxt[p0]+p0-i;
            now=max(now,0);//这里是为了防止i>p的情况
            while(t[now]==t[i+now]&&i+now<(int)t.size())now++;//暴力
            nxt[i]=now;
            p0=i;//更新p0
        }
    }
}

void exkmp()
{
    getnxt();
    int now=0;
    while(s[now]==t[now]&&now<min((int)s.size(),(int)t.size()))now++;//暴力
    extend[0]=now;
    int p0=0;
    for(int i=1;i<(int)s.size();i++)
    {
        if(i+nxt[i-p0]<extend[p0]+p0)extend[i]=nxt[i-p0];//第一种情况
        else
        {//第二种情况
            int now=extend[p0]+p0-i;
            now=max(now,0);//这里是为了防止i>p的情况
            while(t[now]==s[i+now]&&now<(int)t.size()&&now+i<(int)s.size())now++;//暴力
            extend[i]=now;
            p0=i;//更新p0
        }
    }
}

int main()
{
    cin>>s>>t;
    exkmp();
    int len=t.size();
    for(int i=0;i<len;i++)printf("%d ",nxt[i]);//输出nxt
    puts("");
    len=s.size();
    for(int i=0;i<len;i++)printf("%d ",extend[i]);//输出extend
    return 0;
}

洛谷上有一道扩展$kmp$的模板题:P5410【模板】扩展 KMP

$bzoj$和$hdu$上也有几道,大家可以去看看:

hdu2594 Simpsons’ Hidden Talents

hdu4333 Revolving Digits