upd:9.28 补了一个锅 感谢@月离的提醒

这篇题解能帮助我什么?

1.这篇题解是帮助大家理解先乘后加的,很多人抄完题解就走啦并没有理解为什么要先乘后加。

2.这篇题解的代码与线段树1十分相像,可以帮助大家调试

3.(附加功能)本篇题解力求轻松幽默老少皆宜。


前言:

所谓先乘后加就是在做乘法的时候把加法标记也乘上这个数,在后面做加法的时候直接加就行了。

先乘后加可(金)好(坷)啦(垃)好处都有啥?谁说对了就给他!

先乘后加可(金)好(坷)啦(垃),一题能顶两题啦!

先乘后加可(金)好(坷)啦(垃),NOIP一千八!

先乘后加啦,时间不⽩撒;先加后乘呀,撒了也⽩搭

先乘后加可(金)好(坷)啦(垃),不费时~!不怕Wa~!

出题人,真不傻!时间给了他,对竞赛体验危害大,绝不能给他!

线段树2毒(不)瘤(发)啊(达),我们都要切(支)掉(援)他。先乘后加,毒(你)瘤(们)数(日)据(本)别~!想~!啦~!

锹黑板:

首先我们回忆一下线段树1的加法标记他其实是打在父亲节点上的标记儿子加多少的,打完标记的同时父亲的sum其实已经加上了$add*len$

那我们回到这道题我们发现题目要求在加数的同时还要区间乘

比如现在有3个数$1,2,3$

            1~3(1)
           /     \
      1~2(2)      3(3)
     /      \
  1(4)      2(5)

我们先给1~3加上2,画个小小小小的图,节点后面的括号代表节点下标

所以

$t[1].add+=2;$

$t[1].sum+=((3-1)+1)*2;$

我们再给1~3乘上3

所以

$t[1].mu*=3;$

我们再给1~3加上4,那是不是先加再乘

$t[1].add+=4;$

obviously我们发现不能先加:

操作2之后的式子是:
sum=(a[1]+2)*3+(a[2]+2)*3+(a[3]+2)*3;

如果直接加:

式子是:
sum=(a[1]+2+4)*3+(a[2]+2+4)*3+(a[3]+2+4)*3;
   =(a[1]+2)*3+4*3+(a[2]+2)*3+4*3+(a[3]+2)*3+4*3;

我们发现这和

sum=(a[1]+2)*3+4+(a[2]+2)*3+4+(a[3]+2)*3+4;

并不等价

而要等价必须这样

sum=(a[1]+2+4/3)*3+(a[2]+2+4/3)*3+(a[3]+2+4/3)*3;

我们发现这样就成了实数运算了,还有可能除成无限小数

而先乘后加:

sum=(a[1]*3+2*3+4)+(a[2]*3+2*3+4)+(a[3]*3+2*3+4);

嗯 老铁没毛病~~~

给代码啦

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
using namespace std;
int n,m,a[1000005],mod;
struct node{
    ll sum,l,r,mu,add;
}t[1000005];
ll read(){
    ll x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return x;
}
void build(ll p,ll l,ll r){
    t[p].l=l,t[p].r=r;t[p].mu=1;
    if(l==r){t[p].sum=a[l]%mod;return ;}
    ll mid=(l+r)>>1;
    build(p*2,l,mid);
    build(p*2+1,mid+1,r);
    t[p].sum=(t[p*2].sum+t[p*2+1].sum)%mod;
}
void spread(ll p){
    t[p*2].sum=(ll)(t[p].mu*t[p*2].sum+((t[p*2].r-t[p*2].l+1)*t[p].add)%mod)%mod;
    t[p*2+1].sum=(ll)(t[p].mu*t[p*2+1].sum+(t[p].add*(t[p*2+1].r-t[p*2+1].l+1))%mod)%mod;//add已经乘过mu啦

    t[p*2].mu=(ll)(t[p*2].mu*t[p].mu)%mod;
    t[p*2+1].mu=(ll)(t[p*2+1].mu*t[p].mu)%mod;

    t[p*2].add=(ll)(t[p*2].add*t[p].mu+t[p].add)%mod;
    t[p*2+1].add=(ll)(t[p*2+1].add*t[p].mu+t[p].add)%mod;

    t[p].mu=1,t[p].add=0;
}
void add(ll p,ll l,ll r,ll k){
    if(t[p].l>=l&&t[p].r<=r){
        t[p].add=(t[p].add+k)%mod;
        t[p].sum=(ll)(t[p].sum+k*(t[p].r-t[p].l+1))%mod;//只要加上增加的就好
        return ;
    }
    spread(p);
    t[p].sum=(t[p*2].sum+t[p*2+1].sum)%mod;
    ll mid=(t[p].l+t[p].r)>>1;
    if(l<=mid)add(p*2,l,r,k);
    if(mid<r)add(p*2+1,l,r,k);
    t[p].sum=(t[p*2].sum+t[p*2+1].sum)%mod;

}
void mu(ll p,ll l,ll r,ll k){
    if(t[p].l>=l&&t[p].r<=r){
        t[p].add=(t[p].add*k)%mod;//比较重要的一步,add要在这里乘上k,因为后面可能要加其他的数而那些数其实是不用乘k的
        t[p].mu=(t[p].mu*k)%mod;
        t[p].sum=(t[p].sum*k)%mod;
        return ;
    }
    spread(p);
    t[p].sum=t[p*2].sum+t[p*2+1].sum;
    ll mid=(t[p].l+t[p].r)>>1;
    if(l<=mid)mu(p*2,l,r,k);
    if(mid<r)mu(p*2+1,l,r,k);
    t[p].sum=(t[p*2].sum+t[p*2+1].sum)%mod;
}
ll ask(ll p,ll l,ll r){
    if(t[p].l>=l&&t[p].r<=r){
        return t[p].sum;
    }
    spread(p);
    ll val=0;
    ll mid=(t[p].l+t[p].r)>>1;
    if(l<=mid)val=(val+ask(p*2,l,r))%mod;
    if(mid<r)val=(val+ask(p*2+1,l,r))%mod;
    return val;
}
int main(){
    cin>>n>>m>>mod;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read();
    }
    build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int ty=read();
        if(ty==1){
            ll cn=read(),cm=read(),cw=read();
            mu(1,cn,cm,cw);
        }else if(ty==2){
            ll cn=read(),cm=read(),cw=read();
            add(1,cn,cm,cw);
        }else {
            ll cn=read(),cm=read();
            cout<<ask(1,cn,cm)<<endl;
        }
    }
}

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