P7535 题解
liangbowen
2022-07-17 21:03:57
## 前言
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比赛时考到了这一题，于是写一篇题解纪念一下。
## 思路
设 $dp_{i, j}$ 表示前 $i$ 张钞票分给两人，两人差尽可能接近 $j$ 的情况下，获得的总钱数。此时不考虑赌场操作。
显然可以分三种情况讨论：
+ 不用第 $i$ 张钞票：即 $dp_{i-1, j}$。
+ 把第 $i$ 张钞票给第一个人：显然为 $dp_{i-1, |j - a_i|} + a_i$
，其中 $|x|$ 表示 $x$ 的绝对值。
+ 把第 $i$ 张钞票给第二个人：同理，是 $dp_{i-1, j + a_i}$。
因此，状态转移方程为：
$$dp_{i, j} = \begin{cases}dp_{i-1, j}\\dp_{i-1, |j - a_i|} + a_i\\dp_{i-1, j + a_i}\end{cases}$$
重点代码如下。这里加了滚动数组的空间优化。
```cpp
int n, sum = 0;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++) sum += a[i];
//求最大值，就赋值无穷小。注意 dp[0] = 0。
for (int i = 1; i <= sum; i++) dp[i] = -2147483647;
for (int i = 1; i <= n; i++) //dp[i] 是主动规数组，tdp[i] 是滚动数组。
{
for (int j = 0; j <= sum; j++) tdp[j] = max(max(dp[abs(j - a[i])], dp[j + a[i]]) + a[i], dp[j]);
for (int j = 0; j <= sum; j++) dp[j] = tdp[j]; //复制进主数组里。
}
```
那么，两人平均分到 $\left\lfloor dp_{n, 0} \div 2\right\rfloor$ 的钱，剩下 $\Big(\small sum - \left\lfloor dp_{n, 0} \div 2\right\rfloor\Big)$ 的钱去赌场。返回双倍钱，则两人都分得 $\Big(\small sum - \left\lfloor dp_{n, 0} \div 2\right\rfloor\Big)$ 这些钱。
```cpp
printf("%d", sum - dp[0] / 2);
```
## 完整代码
```cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 505, M = 2e5 + 5;
int a[N], dp[M], tdp[M];
int main()
{
int n, sum = 0;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++) sum += a[i];
//求最大值，就赋值无穷小。注意 dp[0] = 0。
for (int i = 1; i <= sum; i++) dp[i] = -2147483647;
for (int i = 1; i <= n; i++) //dp[i] 是主动规数组，tdp[i] 是滚动数组。
{
for (int j = 0; j <= sum; j++) tdp[j] = max(max(dp[abs(j - a[i])], dp[j + a[i]]) + a[i], dp[j]);
for (int j = 0; j <= sum; j++) dp[j] = tdp[j]; //复制进主数组里。
}
printf("%d", sum - dp[0] / 2);
return 0;
}
```
希望能帮助到大家！