P8410 题解
liangbowen
2022-06-25 10:19:04
## 前言
[题目传送门！](https://www.luogu.com.cn/problem/P8411)
[更好的阅读体验？](https://www.luogu.com.cn/blog/liangbowen/solution-p8411)
本次比赛第二题，好像没有人抢题解，那我来一发。
思路还是挺巧妙的。
## $\texttt{10 pts}$ 思路
深搜求解即可。
最坏情况，时间复杂度 $O(n!)$。
```cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef unsigned int UI;
typedef unsigned long long ULL;
inline UI get_next(UI &seed) //直接套用给出的随机数代码即可。
{
seed ^= seed << 13;
seed ^= seed >> 17;
seed ^= seed << 5;
return seed;
}
UI n, seed;
UI a[105], fa[105];
ULL maxn = 0;
bool vis[105];
void dfs(int x, ULL sum, UI minn)
{
if (x == n)
{
//cout<<"sum="<<sum<<'\n';
maxn = max(maxn, sum);
return;
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (!vis[i] && vis[fa[i]]) //选过 fa[i] 且没选过 i 才可以。
{
vis[i] = true;
dfs(x+1, sum + min(minn, (UI)a[i]), min(minn, (UI)a[i]));
vis[i] = false; //回溯。
}
}
int main()
{
scanf("%u%u", &n, &seed);
for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = get_next(seed);
for (int i = 2; i <= n; i++) fa[i] = get_next(seed) % (i-1) + 1;
vis[1] = true;
dfs(1, (ULL)(a[1]), a[1]);
printf("%llu", maxn);
return 0;
}
```
## $\texttt{50 pts}$ 思路
前置知识点：拓扑排序。
没学过没关系，可以直接看正解。
---
观察本题，捕捉关键句，如下。
> 先完成 $fa_i$ 才能完成 $i$。
> 求和的最大值。
这不就是**拓扑排序**吗？
容易看出，用优先队列求解，每次选当前队列里的**最大值**即可。
所以要重载一下。
时间复杂度是带 $\log$ 的，可以卡过 $50\%$ 的数据。
最后按照拓扑序计算和即可。
类似模版，没有什么需要特别理解的地方。
```cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#define N 10000005
using namespace std;
typedef unsigned int UI;
typedef unsigned long long ULL;
inline UI get_next(UI &seed)
{
seed ^= seed << 13;
seed ^= seed >> 17;
seed ^= seed << 5;
return seed;
}
UI n, seed;
UI a[N], fa[N];
struct Edge
{
int now, nxt;
}e[N];
int head[N], cur;
void add(int x, int y)
{
e[++cur].now = y;
e[cur].nxt = head[x];
head[x] = cur;
}
struct Node
{
UI x;
bool operator <(const Node &t) const
{
return a[x] < a[t.x];
}
};
int in[N], topo[N], Cur;
void topo_sort()
{
priority_queue <Node> Q;
Q.push( (Node){1} );
while (!Q.empty())
{
int topi = Q.top().x;
topo[++Cur] = topi;
Q.pop();
for (int i = head[topi]; i; i = e[i].nxt)
{
int p = e[i].now;
in[p]--;
if (in[p] == 0) Q.push( (Node){p} );
}
}
}
int main()
{
scanf("%u%u", &n, &seed);
for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = get_next(seed);
for (int i = 2; i <= n; i++) fa[i] = get_next(seed) % (i-1) + 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) add(fa[i], i), in[i]++;
topo_sort();
ULL sum = 0, minn = 1e18;
for (int i = 1; i <= n; i++) minn = min(minn, (ULL)a[topo[i]]), sum += minn;
printf("%llu", sum);
return 0;
}
```
## 正解
讲完部分分，终于可以将正解了。
~~然而正解和部分分几乎没有关系。~~
---
正解的突破口在于：$1 \leq fa_i < i$。
换句话说，**顺着扫一遍数组**，必定先扫到 $fa_i$ 再扫到 $i$。
进一步讲，**顺着扫，等同于遵守了拓扑序**。
这下，问题就很简单了，转移方程 $f_i = min(a_i, f_{fa_i})$。
注意到 $a_i$ 在后面没有用了，所以可以直接用 $a_i$ 代替$f_i$，节约空间。
另外，不存在 $fa_1$，所以开头稍作改变。
看到代码，你会觉得很简单的。
时间复杂度 $O(n)$。
```cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#define N 10000005
using namespace std;
typedef unsigned int UI;
typedef unsigned long long ULL;
inline UI get_next(UI &seed)
{
seed ^= seed << 13;
seed ^= seed >> 17;
seed ^= seed << 5;
return seed;
}
UI a[N], fa[N];
int main()
{
int n;
UI seed;
scanf("%d%u", &n, &seed);
for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = get_next(seed);
for (int i = 2; i <= n; i++) fa[i] = get_next(seed) % (i-1) + 1;
ULL sum = a[1]; //注意这里需要 long long 来储存。
for (int i = 2; i <= n; i++) a[i] = min(a[i], a[ fa[i] ]), sum += a[i];
printf("%llu", sum);
return 0;
}
```
希望能帮助到大家，谢谢！