题解 P3773 【[CTSC2017]吉夫特】

2018-05-02 21:58:17


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解题思路:B君出的题,不可做

如何判断组合数是否是奇数?

首先,$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$,假设$n!$的2因子数为$a$,$k!$的2因子数是$b$,$(n-k)!$的2因子数为$c$,那么如果$C_n^k$是奇数,则$a=b+c$

怎么求出$x!$的2因子个数呢?首先我们可以将x除以2,相当于一个提取公因数的过程,而那些不能被2整除的项就会被丢掉,于是剩下来的是$2*(\frac{x}{2}!)$,一直这样处理下去,得到答案为

$$f(x)=\sum_{i=1}^{ \infty} \frac{x}{2^i}$$

我们设$g(x)=x$,那么$g(x)=g(\frac{x}{2})+\frac{x}{2}+(x\bmod 2)=\sum_{i=1}^{ \infty} \frac{x}{2^i}+$(x在二进制下1的个数) 所以$x!$的2因子个数就是(x-x在二进制下1的个数)

那么$C_n^k$是奇数的条件即为:n在二进制下1的个数=k在二进制下1的个数+(n-k)在二进制下1的个数。

假设二进制下,n拥有的某一个1,k并没有,那么:

n: ...0...

k: ...1...

n-k: ...11....

会发现k和(n-k)二进制下1的个数和一定会大于n,所以必须k所有的1 n都拥有才能符合条件,综上,$C_n^k$是奇数的条件为:(n&k)=k

那么后面的事情就简单了,设$f_i$表示以$a_i$开头的子序列个数,用桶存每一个$a_i$出现的位置$i$。计算$f_i$时,考虑下一个放什么,也就是枚举$a_i$的子集,判断这个数是否在$i$后面,然后统计方案即可。

复杂度是$O(3^{\log maxa})$的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RI register int
int read() {
    int q=0;char ch=' ';
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') q=q*10+ch-'0',ch=getchar();
    return q;
}
const int N=240000,mod=1000000007;
int a[N],T[N],f[N];
int n,ans;
int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
int main()
{
    n=read();
    for(RI i=1;i<=n;++i) a[i]=read(),T[a[i]]=i;
    for(RI i=n;i>=1;--i) {
        f[i]=1;
        for(RI j=a[i]&(a[i]-1);j;j=a[i]&(j-1))
            if(T[j]>i) f[i]=qm(f[i]+f[T[j]]);
        ans=qm(ans+f[i]);
    }
    ans=(ans-n+mod)%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}