题解 P1146 【硬币翻转】

ljc20020730 · 2017-02-04 17:26:08 · 题解

数学方法：第i次翻转就是翻转除了第i个硬币以外的所有硬币。

下面给出文字证明：

证明1

定义翻某n-1个为A类操作。

定义B操作，是把所有的硬币全部翻面。

定义C操作，是翻某一个硬币。

题主的问题是若干次A操作之后能否达到某个状态，而一个A操作等同于做一次B一次C，注意到B和C操作是可交换的，因此可以理解为先做若干次数的C操作，然后再做相同次数的B操作。

而做若干次C操作相当于一个一个硬币地翻，所以第i次翻转就是翻转除了第i个硬币以外的所有硬币。

证明2

当然，也可以这样解释：做一个很简单的变换--把每次翻转5个硬币，分解成两步：

1、把一个硬币翻转一次；

2、把所有的硬币翻转一次

如果p为偶数，那么上面的第二步实际上被抵消了，所以相当于每次只做第一步。所以p=6.

如果p是奇数，那么相当于每次只做第一步，最后把所有的硬币翻一次面，这等价于只做奇数次第一步，最后保持所有的硬币仍然是正面向上，这显然是不能做到的。

综上，p=6

证明3

要让所有硬币翻过来，要做的就是每个硬币翻奇数次。

总共六个硬币，每次翻五个。

那么情况就只有每个硬币翻一次、三次、五次。

但是每次只能翻五个，不能多不能少，所以就要求总共翻的次数是5的整倍数。

所以就是每个硬币翻五次。总共翻了5x6=30次

每次翻5个

30/5=6次

答：最少翻六次

Pascal的标准程序：

var n,i,j:longint;
    a:array[1..100]of 0..1;
begin
 readln(n);
 writeln(n);
 for i:=1 to n do begin
  for j:=1 to n do
   if i<>j then a[j]:=1-a[j];
  for j:=1 to n do write(a[j]);
  writeln;
 end;
end.