题解 P2899 【[USACO08JAN]手机网络Cell Phone Network】

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题意

### 做法 首先，这是一道**树形DP**基础题 那么，我们考虑一个结点可以被谁染色，不难想出，可以有$3$种情况：被自己染色，被儿子染色，被父亲染色 我们用$f[i][0/1/2]$分别表示$i$这个结点被自己/儿子/父亲染色的最小染色数，即用$f[i][0]$表示自己对自己染色了，用$f[i][1]$表示自己被儿子染色了，用$f[i][2]$表示自己被父亲染色了 那么就可以推出三种状态，我们设目前结点为$u$，他的儿子结点为$v

1.自己被自己染色

这时我们可以想一下，u被自己染色可以由什么转移过来，如果u已经被自己染色了的话，他的儿子v可以选择自己染色，也可以选择被自己（v）的儿子染色，当然也可以被u染色，当然，我们要选最小的，所以转移方程就是

f[u][0] += \min (f[v][0], f[v][1], f[v][2])(v \in son_u)

2.被自己的父亲结点染色

如果被父亲结点(fa)染色了，那么u的儿子v只能选择自己染色或者被它的儿子染色，转移方程为

f[u][0] += \min (f[v][0], f[v][1])(v\in son_u)

3.被自己的儿子结点染色

这是最麻烦的一种情况，因为u可能有多个儿子，只要有一个儿子自己染色了，就可以将u覆盖，这种情况就成立了

而现在它的儿子有两种情况，分别是自己染色和被它儿子染色

我们可以先假设每个儿子都是被它自己染色（v被自己染色）的，然后看一下u的每个儿子（v）被其儿子染色是否使结果变得更小，把能让结果更小的 自己染色（v自己染色）的儿子 替换为 被其儿子染色的儿子（v被它儿子染色）的儿子

(参考了ysner大佬的思路)

那么怎么实现呢？

  1. 先让f[u][1]加上所有的f[v][0]（也就是假设所有的v目前都是自己给自己染色的）
  2. 在进行一的同时，用一个g数组，表示v被儿子染色所需的价值减去v被自己染色的价值的差值，同时用一个变量tot记录一下一共有多少个儿子，即g[++tot] = f[v][1] - f[v][0]
  3. 如果u没有儿子，即tot为0，说明u是一个叶结点，那么就没有从儿子来的价值，因为转移的时候我们要取小的，所以就把f[u][1]设为一个极大值
  4. 如果u有儿子，就将g从小到大排序，如果是负值，我们就可以替换，因为是负值的话就说明，此时的f[v][1]比f[v][0]小，所以就可以替换，只要是负的，值越小越好，所以就排序一下，是负的就替换，否则就break，当然我们最多替换tot-1个，因为要保证u被染色，必须有一个儿子是自己染色的

至此主要部分就讲完了，需要注意的是每次dfs的时候先将f[u][0]设为1，因为自己给自己染色肯定至少为1

然后我们就做完啦~~

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

inline int read() {
    char c = getchar();
    int x = 0, f = 1;
    for( ; !isdigit(c); c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
    for( ; isdigit(c); c = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);
    return x * f;
}

const int M = 1e5 + 11;
const int INF = 1e9 + 17;

int n, m;
int f[M][3];//f[i][0/1/2]0表示被自己染了，1表示被儿子染了，2表示被父亲染了 

struct node {
    int nxt, to;
} e[M];

int head[M], cnt;

inline void add(int from, int to) {
    e[++cnt].to = to;
    e[cnt].nxt = head[from];
    head[from] = cnt;
}

bool cmp(int x, int y) {
    return x > y;
}

void dfs(int u, int fa) {
    int tot = 0, g[M]; f[u][0] = 1;
    for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
        int v = e[i].to;
        if(v == fa) continue;
        dfs(v, u);
        f[u][0] += min(f[v][0], min(f[v][1], f[v][2]));
        f[u][2] += min(f[v][0], f[v][1]);
        f[u][1] += f[v][0];
        g[++tot] = f[v][1] - f[v][0];
    }
    if(!tot) f[u][1] = INF;
    else {  
        sort(g + 1, g + 1 + tot);
        for(int i = 1; i < tot; i++) {
            if(g[i] < 0) f[u][1] += g[i];
            else break;
        }
    }
    return;
}

int main() {
    n = read();
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        int x = read(), y = read();
        add(x, y), add(y, x);
    }
    dfs(1, 0);
    printf("%d", min(f[1][0], f[1][1]));
    return 0;
}

完结撒花qwq