P1541 乌龟棋
吃瓜群众syc
2018-02-11 20:00:29
[P1541 乌龟棋](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1541)
这个题可以说运用了背包的思想:
开的主要变量：
1.F[a][b][c][d]:表示你出了a张爬行牌1，b张爬行牌2，c张爬行牌3，d张爬行牌4时的得分
2.g[x]:表示牌x一共有多少张
题干中说如何出牌,那我们就不妨DP一下每一种牌的出牌张数
初始化：
```
F[0][0][0][0]=num[1];
```
显然,乌龟开始时在num[1],题中说乌龟棋子自动获得起点格子的分数,故未出牌时（F[0][0][0][0]）分数为num[1]
之后边输入边存每一种牌的张数（输入数据第3行:M个整数，b1b2……bM，表示M张爬行卡片上的数字,故卡1~卡4张数一定）:
```cpp
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>x;
g[x]++;
}
```
之后便可以开始DP了:
起始状态F[0][0][0][0]=num[1]，即不出任何爬行卡;之后对于每一张卡片，我都可以选择放与不放，
E:设当前放的卡1数量为a，卡2数量为b，卡3数量为c，卡4数量为d（以下出现a~d均为这个意思），则对于卡一:
比较卡一的放与不放,只需决策卡一的放与不放，即取F[a][b][c][d],F[a-1][b][c][d]+num[r]的最大值。又由于a有一定数量,所以我们可以得出关于a的转移方程:
```cpp
F[a][b][c][d]=max(F[a][b][c][d],F[a-1][b][c][d]+num[r])
```
其中r=1+a+b*2+c*3+d*4(至于r在a+b*2+c*3+d*4加一原因见后)
DP 数量a：
```cpp
for(int a=0;a<=g[1];a++)
{
int r=1+a+b*2+c*3+d*4;
if(a!=0) F[a][b][c][d]=max(F[a][b][c][d],F[a-1][b][c][d]+num[a+b*2+c*3+d*4])
}
```
这不就是个“物品占的空间”为1，“价值”为num[r]的多重背包嘛！！
至于这个(a!=0)，显然，你要是调用F[a-1][b][c][d]，肯定得保证a-1>=0吧。a显然作为卡1个数不可能<0,故取(a!=0)即可
根据多维背包的思想，背包DP几个“价值”（即爬行牌种类）开几维即可,故
转移方程为:
```cpp
F[a][b][c][d]=max(F[a-1][b][c][d],F[a][b-1][c][d],F[a][b][c-1][d],F[a][b][c][d-1])+num[1*a+2*b+3*c+4*d]
```
最后DP出来的F[g[1]][g[2]][g[3]][g[4]]即为答案。
DP代码如下：
```cpp
for(int a=0;a<=g[1];a++)
for(int b=0;b<=g[2];b++)
for(int c=0;c<=g[3];c++)
for(int d=0;d<=g[4];d++)
{
int r=1+a+b*2+c*3+d*4;//千万千万别忘了加一,因为乌龟从num[1]出发,设前进i步，则到达num[i+1],我就是因为这调了一个小时死活没找出毛病
if(a!=0) F[a][b][c][d]=max(F[a][b][c][d],F[a-1][b][c][d]+num[r]); //a!=0原因见上
if(b!=0) F[a][b][c][d]=max(F[a][b][c][d],F[a][b-1][c][d]+num[r]);
if(c!=0) F[a][b][c][d]=max(F[a][b][c][d],F[a][b][c-1][d]+num[r]);
if(d!=0) F[a][b][c][d]=max(F[a][b][c][d],F[a][b][c][d-1]+num[r]);
}
```
在for循环中将F[a][b][c][d]与F[a-1][b][c][d]+num[1*a+2*b+3*c+4*d],F[a][b-1][c][d]+num[1*a+2*b+3*c+4*d],F[a][b][c-1][d]+num[1*a+2*b+3*c+4*d],F[a][b][c][d-1]+num[1*a+2*b+3*c+4*d]逐个比较，实现了转移方程的更新(c++中max函数貌似只能比较两个数)
当然，我们知道总牌数n和每种卡的张数，则实际写代码时我们完全可以考虑减一维,可我至今还是没想起来。。。。。。（我还是个蒟蒻）
AC代码:
```
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=41;
int F[MAXN][MAXN][MAXN][MAXN],num[351],g[5],n,m,x;
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>num[i];
F[0][0][0][0]=num[1];
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>x;
g[x]++;
}
for(int a=0;a<=g[1];a++)
for(int b=0;b<=g[2];b++)
for(int c=0;c<=g[3];c++)
for(int d=0;d<=g[4];d++)
{
int r=1+a+b*2+c*3+d*4;
if(a!=0) F[a][b][c][d]=max(F[a][b][c][d],F[a-1][b][c][d]+num[r]);
if(b!=0) F[a][b][c][d]=max(F[a][b][c][d],F[a][b-1][c][d]+num[r]);
if(c!=0) F[a][b][c][d]=max(F[a][b][c][d],F[a][b][c-1][d]+num[r]);
if(d!=0) F[a][b][c][d]=max(F[a][b][c][d],F[a][b][c][d-1]+num[r]);
}
cout<<F[g[1]][g[2]][g[3]][g[4]];
return 0;
}
```