题解 P3800 【Power收集】

灵乌路空 · 2019-07-15 21:30:41 · 题解

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知识点 : DP 优化 , 单调队列

题意:

有一个 (N\times M) 大小的矩阵
部分矩阵中的点 带有价值
可以选择第一行 , 任何一个位置作为起点 .

对于当前的位置 (i,j)\ (表示在第 i 行第 j 列)
可以转移到: (i+1,\ [j-T , j+T]\ ) 中任意一个点 (j-T>0\ ,\ j+t\leqslant M)
并且获得当前所在点的价值 .

求 : 可以取得的最大价值和

样例解释:

1.灵梦从 (1,1)出发 : 总价值+3 , 现在为 3
2.灵梦转移到 (2,2) : 总价值+3 ,现在为 6
3.灵梦转移到 (3,3) : 总价值+3 ,现在为 9
故 , 总价值为 9

分析题意:

很显然这是一道 DP
状态转移方程极其简单 :
用 f[i][j] 表示在点 (i,j) 能到达的最大价值和 , 则有: f[i][j] = max(f[i-1][k]) + v[i][j]\ ,\ (k\in [j-T , j+T]\ )
- 暴力:
  直接枚举所有点 , 再枚举能转移到他的点 ?
  复杂度 O(N^3) 级别 ,
考虑优化 :
- 可知:
  第 i 行上点的 f[][] , 只与第 i-1 行有关
  则可将每相邻的两行 , 单独拆分出来考虑 :
如图:

可以发现 :
1. 转移到点(i,j) 的点 ,
  为 i-1 行 , 区间 \underline{[j-T,j+T]} 中 , f[][] 最大的点
2. 转移到点(i,j+1) 的点 ,
  为 i-1 行 ,区间 \underline{[j-T+1,j+T+1]} 中 , f[][] 最大的点
3. 转移到点(i,j+2) 的点 ,
  为 i-1 行 ,区间 \underline{[j-T+2,j+T+2]} 中 , f[][] 最大的点
后两个区间 ,
都可以通过上一个区间 右移一个单位 得到
这不禁让我们想到了另一道题 : P1886 滑动窗口
如果您还未学习过单调队列 , 推荐这篇文章:
【洛谷日报#9】 [Sweetlemon] 朝花中学OI队的奋斗历程——浅谈单调队列

这种 滑动窗口型 最值问题 ,
显然 , 可以通过单调队列来进行维护 .

由上 , 我们便找到了一种合适 DP 优化方法: 单调队列优化.

算法实现:

假设,现在已经更新到第 i 行 :
1. 先初始化单调队列 ,
  将能够更新 (i,1) 的点(i,k) , (k \in [1,1+T]) ,
  加入单调队列
2. 开始循环 , 更新 [1,M] 中每一个点 :
  - 将能够转移到 j 的最右侧一个点 (i-1 , j+T) , 加入队列
  - 使用单调队列找到能够转移到 j 的点的最大f[][]
  - 用最大的f[][] 更新 f[i][j]
3. 清空单调队列 , 外层循环进入下一层 ,更新第 i+1 行
最后找到最后一行中 ,
最大的 f[N][j] ,
即所求最值 .

上代码:

由于使用了手写数组模拟队列 ,
清空时只需重置头尾指针 , 及队首元素即可 .
常数吊打 deque

#include<cstdio>
#include<ctype.h>
#include<cstring>
#define int long long
#define max(a,b) a>b?a:b
//=====================================
const int MARX = 4e3+10;
int n,m,k,t, now,ans;
int f[MARX][MARX];
int head=1,tail=1;//手写双端队列 
int q[MARX]={9223372036854775807};//为q[0]赋一个极大值,来防止插入元素时越界 
//=====================================
inline int read()
{
    int fl=1,w=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch) && ch!='-') ch=getchar();
    if(ch=='-') fl=-1;
    while(isdigit(ch)){w=w*10+ch-'0',ch=getchar();}
    return fl*w;
}
void in(int x)//向单调队列中插入元素 
{
    while(f[now-1][x]>f[now-1][q[tail]] && tail>=head) 
      tail--;//取出队尾小于插入元素的数 , 以保证单调性 
    q[++tail]=x;//插入队尾 
}
int find(int x)//查询元素 
{
    if(x+t<=m)in(x+t);//将能转移到x点 的 最后一个元素 x+t 插入队列 
    while(q[head]+t<x) head++;//找到队首第一个能够转移到x的点 
    return q[head]; 
}
//=====================================
signed main()
{
    n=read(),m=read(),k=read(),t=read();
    while(k--)
    {
      int x=read(),y=read(),w=read();
      f[x][y]=w;
    }

    for(now=2;now<=n;now++)//从第二行,开始转移 
    {
      for(int i=1;i<=t;i++) in(i);//初始化单调队列 , 满足能够 转移j=1的点 
      for(int j=1;j<=m;j++) f[now][j]+=f[now-1][find(j)];// 进行转移 
      head=tail=1 , q[1]=0;//清空队列 
    }

    for(int i=1;i<=m;i++)//取得最大值 
      ans=max(ans,f[n][i]);
    printf("%lld",ans);
}

完成了这篇题解 , 东方众信仰 ++

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