题解 P2602 【[ZJOI2010]数字计数】

首先推一下我的博客，洛谷的，上面有一些多加的内容，大家尽量去看看吧，~~顺便赞一下啦~~ [blog](https://www.luogu.org/blog/mak2333/swdp001) 在这里我的写法参照了大奕哥这位dalao的题解，大家也可以看看，在这里我会针对我的理解来写。 那么我们首先看题，对于这道题我一开始以为很水，但是当我仔细去读题之后发现事情没那么简单。其中对于这道题（递推做法）最大的难点是难以找出递推式子（废话，你写递推就只有这点难了）。为啥，因为你很难想到怎样求出第几位它的数字又多少，因为不能有前导0。但是我们发现如果不考虑是否有前导0的话，那么这道题就似乎有递推公式。 f[i]代表在有i位数字的情况下，每个数字有多少个。如果不考虑前导0，你会发现对于每一个数，它的数量都是相等的，也就是f[i]=f[i-1]\*10+10^(i-1);(这里我推荐使用打表+大眼观察法) 然而这个公式推出来后，你就会面临第二个难题，怎么推出我想要的答案？ 我们先设数字为ABCD 看A000，如果我们要求出它所有数位之和，我们会怎么求？ 鉴于我们其实已经求出了0~9,0~99,0~999。。。上所有数字个数（f[i],且没有考虑前导0）我们何不把这个A000看成0000~1000~2000...A000对于不考虑首位每一个式子的数字的出现个数为 A\*f[3]。加上首位出现也就是小于A每一个数都出现了10^3次，再加上，我们就把A000处理完了。 这样你以为就把第一位处理完了？不不不，首位A还出现了BCD+1次呢，也就是从A000~ABCD，这个A还出现了BCD+1次，所以再加上这些才行呢。那么你发现，我们成功把首位代表的所有数字个数求出来了，剩下的求解与A完全没有任何关系，只是BCD的求解，于是我们发现我们已经把一个大问题，化成了一个个小问题，也即是，对于一个这样n位的数，把他一位位的分离开来。 当然你还需要处理前导0你会发现前导0一定是0001,0002。。。0012，0013。。。0101,0102.。。0999这样的数，一共出现了10\*（i-1)+10\*(i-2)+...10 (i表示数字位数），让0的统计减去这个值，那么恭喜你这道题做完了。 总结 对于DP这个东西，最重要的其实只有一点，推状态，状态又是什么？是大问题的子问题，对于这种题最重要的特点是，无后效性，问题可拆分，并且答案的求解具有一定的规律，这样的题应该就可以用DP做，数位DP最重要的就是把一整个数字拆分成一位一位的单独来看，那么对于数位DP，它的子问题也就一般是每一位上对于答案的求解，层层递进的这么一个思路。 最后粘代码，写的丑见谅 ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; long long a,b; long long ten[20],f[20]; long long cnta[20],cntb[20]; void solve(long long x,long long *cnt) { long long num[20]={0}; int len=0; while(x) { num[++len]=x%10; x=x/10; } for(int i=len;i>=1;i--) { for(int j=0;j<=9;j++) cnt[j]+=f[i-1]*num[i]; for(int j=0;j<num[i];j++) cnt[j]+=ten[i-1]; long long num2=0; for(int j=i-1;j>=1;j--) { num2=num2*10+num[j]; } cnt[num[i]]+=num2+1; cnt[0]-=ten[i-1]; } } int main() { scanf("%lld %lld",&a,&b); ten[0]=1; for(int i=1;i<=15;i++) { f[i]=f[i-1]*10+ten[i-1]; ten[i]=10*ten[i-1]; } solve(a-1,cnta); solve(b,cntb); for(int i=0;i<=9;i++) printf("%lld ",cntb[i]-cnta[i]); } ```