P1646 [国家集训队]happiness(最小割)
nofind
2019-12-24 22:40:12
### 本篇篇幅过长，可能会出不少错，我已经查过一遍了，如果还有错恳请提出，我马上修改。
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## [题意](https://www.luogu.com.cn/problem/P1646)
这题有两种做法：
根据套路，先将所有愉悦值加上，之后减去最小代价。
### 1.
首先套路地，从源点$s$向每个点连选文科的价值，从每个点向汇点$t$连选理科的价值，割那条表示不选哪科，这样可以保证每个人不选文就选理。
接下来考虑如何处理这个限制：
只要点对$(i,j)$中至少有一个不选文（理科同理），我们就要减去同选文的价值。
我们可以新建一个节点$x$，从$s$向$x$连容量为$i,j$同选文的价值，之后从$x$向$i,j$连容量为$inf$的边。
我们发现这时如果$i,j$两点中有一个点理科边没有割（即不选文），那么此时就存在一条$s-x-i/j-t$这样一条路，我们只能割掉$s-x$这条边，因为如果割掉$i/j-t$这条边，那么我们可以不割$s-i/j$这条边，这与选文科不符，于是我们还是能保证每个人都选且只选了一科。
建出的图如下：
code:
```
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=110;
const ll inf=1e18;
int n,m,cnt=1,tot=2,S,T;
int head[maxn*maxn*20],cur[maxn*maxn*20],dep[maxn*maxn*20];
ll ans;
struct edge{int to,nxt;ll flow;}e[maxn*maxn*40];
inline int id(int i,int j){return (i-1)*m+j;}
inline void add(int u,int v,ll w)
{
e[++cnt].nxt=head[u];
head[u]=cnt;
e[cnt].to=v;
e[cnt].flow=w;
}
inline void addflow(int u,int v,ll w){add(u,v,w);add(v,u,0);}
inline bool bfs()
{
memset(dep,0,sizeof(dep));
for(int i=0;i<=tot;i++)cur[i]=head[i];
queue<int>q;
q.push(S);dep[S]=1;
while(!q.empty())
{
int x=q.front();q.pop();
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
{
int y=e[i].to;
if(dep[y]||e[i].flow<=0)continue;
dep[y]=dep[x]+1;q.push(y);
}
}
return dep[T]>0;
}
ll dfs(int x,int goal,ll lim)
{
if(x==goal||lim<=0)return lim;
ll res=lim;
for(int i=cur[x];i;i=e[i].nxt)
{
cur[x]=i;
int y=e[i].to;
if(e[i].flow<=0||dep[y]!=dep[x]+1)continue;
ll tmp=dfs(y,goal,min(res,e[i].flow));
if(tmp<=0)dep[y]=0;
res-=tmp;
e[i].flow-=tmp,e[i^1].flow+=tmp;
if(res<=0)break;
}
return lim-res;
}
inline ll Dinic()
{
ll res=0;
while(bfs())res+=dfs(S,T,inf);
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
S=0,T=n*m+1;
tot=n*m+1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1,x;j<=m;j++)
{
scanf("%d",&x);ans+=x;
addflow(S,id(i,j),x);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1,x;j<=m;j++)
{
scanf("%d",&x);ans+=x;
addflow(id(i,j),T,x);
}
for(int i=1;i<n;i++)
for(int j=1,x;j<=m;j++)
{
scanf("%d",&x);ans+=x;
addflow(S,++tot,x);
addflow(tot,id(i+1,j),inf),addflow(tot,id(i,j),inf);
}
for(int i=1;i<n;i++)
for(int j=1,x;j<=m;j++)
{
scanf("%d",&x);ans+=x;
addflow(++tot,T,x);
addflow(id(i+1,j),tot,inf),addflow(id(i,j),tot,inf);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1,x;j<m;j++)
{
scanf("%d",&x);ans+=x;
addflow(S,++tot,x);
addflow(tot,id(i,j+1),inf),addflow(tot,id(i,j),inf);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1,x;j<m;j++)
{
scanf("%d",&x);ans+=x;
addflow(++tot,T,x);
addflow(id(i,j+1),tot,inf),addflow(id(i,j),tot,inf);
}
printf("%lld",ans-Dinic());
return 0;
}
```
### 2.
常规方法解方程。
还是经典老图：
这张图上面是$i$，下面是$j$，左边是文科，右边是理科，这里割哪条边表示不选哪科。
我们开始解方程：
先设$a_i$表示$i$选文科的价值，$b_i$表示$i$选理科的价值，$c_{i,j}$表示$i,j$同选文科的价值，$d_{i,j}$表示$i,j$同选理科的价值。
对于点对$(i,j)$可以列出方程（以下方程按照“同文”，“同理”，“$i$文$j$理”，“$i$理$j$文”排序）：
$\begin{cases}c+d=b_i+b_j+d_{i,j}<1>\\ a+b=a_i+a_j+c_{i,j}<2>\\ b+c+e=b_i+a_j+c_{i,j}+d_{i,j}<3>\\a+d+f=a_i+b_j+c_{i,j}+d_{i,j}<4>\end{cases}$
我们通过$<3>+<4>-<1>-<2>$可以得到：$e+f=c_{i,j}+d_{i,j}$
令$e=f$，可得：$e=f=\frac{c_{i,j}+d_{i,j}}{2}$
我们令$a=a_i+\frac{c_{i,j}}{2}$，即可解得其他变量的值：
$b=a_j+\frac{c_{i,j}}{2}$
$c=b_i+\frac{d_{i,j}}{2}$
$d=b_j+\frac{d_{i,j}}{2}$
于是我们就可以建图了，但是由于$a,b,c,d,e,f$不一定是整数，我们先整体乘2，最后除回去即可。
code:
```
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=110;
const int inf=1e9;
int n,m,cnt=1,S,T,ans;
int head[maxn*maxn*20],cur[maxn*maxn*20],dep[maxn*maxn*20];
struct edge{int to,nxt,flow;}e[maxn*maxn*40];
inline int read()
{
char c=getchar();int res=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9')res=res*10+c-'0',c=getchar();
return res*f;
}
inline int id(int i,int j){return (i-1)*m+j;}
inline void add(int u,int v,int w)
{
e[++cnt].nxt=head[u];
head[u]=cnt;
e[cnt].to=v;
e[cnt].flow=w;
}
inline void addflow(int u,int v,int w){add(u,v,w),add(v,u,0);}
inline bool bfs()
{
memset(dep,0,sizeof(dep));
for(int i=S;i<=T;i++)cur[i]=head[i];
queue<int>q;
q.push(S);dep[S]=1;
while(!q.empty())
{
int x=q.front();q.pop();
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
{
int y=e[i].to;
if(dep[y]||e[i].flow<=0)continue;
dep[y]=dep[x]+1;q.push(y);
}
}
return dep[T]>0;
}
int dfs(int x,int goal,int lim)
{
if(x==goal||lim<=0)return lim;
int res=lim;
for(int i=cur[x];i;i=e[i].nxt)
{
cur[x]=i;
int y=e[i].to;
if(e[i].flow<=0||dep[y]!=dep[x]+1)continue;
int tmp=dfs(y,goal,min(res,e[i].flow));
if(tmp<=0)dep[y]=0;
res-=tmp;
e[i].flow-=tmp,e[i^1].flow+=tmp;
if(res<=0)break;
}
return lim-res;
}
inline int Dinic()
{
int res=0;
while(bfs())res+=dfs(S,T,inf);
return res;
}
int main()
{
n=read(),m=read();
S=0,T=n*m+1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
int x=read();ans+=x;
addflow(S,id(i,j),x<<1);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
int x=read();ans+=x;
addflow(id(i,j),T,x<<1);
}
for(int i=1;i<n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
int x=read();ans+=x;
addflow(id(i,j),id(i+1,j),x);addflow(id(i+1,j),id(i,j),x);
addflow(S,id(i,j),x),addflow(S,id(i+1,j),x);//之前少加。
}
for(int i=1;i<n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
int x=read();ans+=x;
addflow(id(i,j),id(i+1,j),x);addflow(id(i+1,j),id(i,j),x);
addflow(id(i,j),T,x),addflow(id(i+1,j),T,x);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<m;j++)
{
int x=read();ans+=x;
addflow(id(i,j),id(i,j+1),x);addflow(id(i,j+1),id(i,j),x);
addflow(S,id(i,j),x),addflow(S,id(i,j+1),x);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<m;j++)
{
int x=read();ans+=x;
addflow(id(i,j),id(i,j+1),x);addflow(id(i,j+1),id(i,j),x);
addflow(id(i,j),T,x),addflow(id(i,j+1),T,x);
}
printf("%d",ans-(Dinic()>>1));
return 0;
}
```