最小表示法详解

最小表示法是用于解决字符串最小表示问题的方法（废话 ### 字符串的最小表示 #### 循环同构 当字符串 $S$ 中可以选定一个位置 $i$ 满足 $$ S[i\cdots n]+S[1\cdots n-1]=T $$ 则称 $S$ 与 $T$ 循环同构 #### 最小表示 字符串 $S$ 的最小表示为与 $S$ 循环同构的所有字符串中字典序最小的字符串 ### simple的暴力 我们直接比较与 $S$ 同构的所有字符串，共 $n$ 个。 每次保留当前字典序最小的字符串与剩余的字符串比较。 ```c++ int k=0,i=0,j=1; for(;j<n;j++) { if(sec[(i+k)%n]==sec[(j+k)%n]) { k++; } else { if(sec[(i+k)%n]>sec[(j+k)%n]%n) { i=j; } k=0; } } ``` 随机数据下表现良好，但是可以构造特殊数据卡掉。 例如：对于 $aaa\cdots aaa$ ,不难发现这个算法的复杂度退化为 $O(n^2)$ 我们发现，当字符串中出现多个连续重复子串时，此算法效率降低，我们考虑优化这个过程。 ### 最小表示法 #### 算法核心 考虑对于一对字符串 $A,B$ ,它们在原字符串 $S$ 中的起始位置分别为 $i,j$ ,且它们的前 $k$ 个字符均相同，即 $$ A[i...i+k-1]=B[j...j+k-1] $$ 不妨先考虑 $A[i+k]>B[j+k]$ 的情况，我们发现起始位置下标 $l$ 满足 $i\le l\le i+k$ 的字符串均不能成为答案。因为对于任意一个字符串 $S_{i+p}$（表示以 $i+p$ 为起始位置的字符串）一定存在字符串 $S_{j+p}$ 比它更优。 所以我们比较时可以跳过下标 $l\in [i,i+k]$ ,直接比较 $S_{i+k+1}$ 这样，我们就完成了对于上文暴力的优化。 #### 时间复杂度 $O(n)$ ~~证明：显然~~ #### 算法流程 1. 初始化指针 $i$ 为 $0$，$j$ 为 $1$；初始化匹配长度 $k$ 为 $0$ 2. 比较第 $k$ 位的大小，根据比较结果跳转相应指针。若跳转后两个指针相同，则随意选一个加一以保证比较的两个字符串不同 3. 重复上述过程，直到比较结束 4. 答案为 $i,j$ 中较小的一个 #### 代码 ```c++ int k=0,i=0,j=1; while(k<n&&i<n&&j<n) { if(sec[(i+k)%n]==sec[(j+k)%n]) { k++; } else { sec[(i+k)%n]>sec[(j+k)%n]?i=i+k+1:j=j+k+1; if(i==j) i++; k=0; } } i=min(i,j); ```