Senior Data Structure高级数据结构初步·详解分块思想与树状数组
皎月半洒花
2018-02-13 05:13:26
# 一、浅析数据结构之用处和高级数据结构之特性
数据结构者，谓之**数据之关系**。单论数据特性，也不过是数据之间的存储方式罢。但要说更深层次之作用，是**运用其存储之特性，建立数学之模型，更方便地才处理数据尔**。
以上是鲁迅同志说的（鲁迅：$exm$？？？），其实一切的数据结构不过就是一种**用于处理数据的、成熟的、合理的结构封装**。较低级的数据结构不会支持什么操作，仅是维护自身的存储秩序；而高级数据结构则可以支持许多操作——其实也不过是维护自身数据的秩序而已，只不过在维护其自身秩序的同时，由于其本身结构复杂且特点鲜明，所以会产生许多很优化的算法。
（鲁迅：看在你讲得这么好饶了你！）
而今天我们主要介绍有关 RMQ、RSQ 问题的、较为基础的高级数据结构。
# 二、先来介绍分块思想吧
## （一）基本性质与证明
其实从本质上来讲，分快更像是一种思想。分块，顾名思义，就是将一个区间分成几块，然后对于每个询问，整合一个或者多个甚至全部区间的信息。但是在这种整合不是随便整合，必须要有技巧、有目的地整合，才会减小时间复杂度。
先看一道例题：
现在你有一个长度为 $n$ 的序列，有 $m$ 个操作：
1.修改某位置的元素的值。
2.将一段区间的元素加上或减去一个值。
3.求一段区间的元素的最大值。
$n,m\leq 50000$。
让我们考虑分块:
首先第一步，进行区间划分，在这一步我们考虑将整个序列划分成 $\sqrt{n}$ 块，这可以使得其总查询时间最快
证明：
对于搜查整个序列中的一段区间，设这段区间内的完整分块块数是 $C$ 块，每一段均匀的分块都 $S$ 个元素，那么这一段区间的最复杂形式为:有 $C$ 个完整区间，并且闭区间 [$l$,$r$] 还在两端包括有不完整的分好的块：
```cpp
——|—【————|——————|——————|————】—|————
```
上图中【】表示区间，| 与 | 之间表示分好的均匀块（博主不知道怎么画精美的图啦）
我们可以发现该区间内有 $C$ 段完整区间，$2$ 段不完整区间；而同时，不完整区间的元素数量之和，绝对小于等于 $2S$；那么我们对于这一个区间而言，共需要进行最多 $C+2S$ 次查询——因为一个分块可以供给块内所有元素的信息。那么查询的时间复杂度便是 $O(C+2S)$。从渐进意义上来讲，时间复杂度为 $O(C+S)$，渐进整合后便是 $O(\max\{C,S\})$（**渐进的时间复杂度，可以认为等于对数值改变影响最大的数值的复杂度**）。
在知道这一点之后，我们可以这么想：
因为
$$
C\times{S}+2S\geq r-l+1
$$
所以我们可以近似地看做有
$$
C\times{S}=r-l+1
$$
所以在同一区间内 $C×S$ 之积可以看作是个定值。那么当且仅当 $S=C$ 时，才会使得 $\max\{C,S\}$ 最小，此时 $S=C=\sqrt{n}$。
## （二）分块的运行机制
首先就是确立所分的块与被包含元素之间的关系，我们在此用一个 `belong` 数组记录每个点与所分的块之间的关系，同时进行区间记录。
```cpp
int n,a[MAXN],belong[MAXN];
int S,C=0,st[MAXN],ed[MAXN];//sum[MAXN],ma_x[MAXN],mi_n[MAXN];
/*
n:元素个数，a[]：元素，belong[]:每个元素所属的块的编号
S:每个块有多少元素 C:分块个数 st/ed:每个块的左边界、右边界
sum[MAXN]/ma_x[MAXN]/mi_n[MAXN]用于记录区间信息
*/
void pretreat()
{
S=int(sqrt(double(n)));
for(int i=1;i<=n;i+=S){
st[++C]=i;
ed[C]=min(i+S-1,n);//有可能会越界（sqrt必然有精度误差）
}
for(int i=1;i<=C;i++)
for(int j=st[i];j<=ed[i];j++)
{
belong[j]=i;//初始化belong
/*
//区间操作 sum[i]+=a[j];
ma_x[i]=max(ma_x[i],j);
*/
}
}
```
其次便是区间修改 & 单点修改：由于区间操作只能针对于某个已经被分好的块，所以对于某些不完整区间的改动，需要进行单点修改。
对于区间修改，还有一点，为了帮助我们对区间讯息的整合，所以会引进一个`delta mark`，记录某个区间整体的变化情况。
注意：**当且仅当一个块被统一修改，才会改变这个块的 `delta` 值。**
```cpp
//区间单点修改 ，此处以求区间和为例
inline void updata_single(int x,int k)
{
a[x]+=k;
sum[belong[x]]+=k;
}
//区间修改，同上
int delta[MAXN];//用于记录一个！完整！区间的修改
void updata_range(int x,int y,int k)
{
int l=belong[x],r=belong[y];
if(l==r&&st[l]==x&&st[r]==y)
{delta[l]=k; return ;}//ma_x[]
//这个if纯粹是为了减少底下的运算，毕竟判断只有O(1) qwq
else
{
for(int i=x;i<=ed[l];i++)
updata_single(i,k);//如果不是完整区间，就单点修改
if(st[l]>x&&st[r]<y)return ;
//如果查询区间被某个块完全包含且不相等，
//不需要进行以下操作
for(int i=st[r];i<=y;i++)
updata_single(i,k);
//如果所查询区间与块有交集且不想等
//不需进行以下操作
for(int i=l+1;i<r;i++)
delta[i]+=k;;
}
}
```
紧接着就是区间询问了，此时我们的 `delta` 就派上用场啦！
```cpp
int query(int x,int y)//依然为区间和
{
int l=belong[x],r=belong[y],ans=0;
if(l==r){
for(int i=x;i<=y;i++)
ans+=a[i]+delta[belong[i]];
}
else{
for(int i=x;i<=ed[l];i++)
ans+=a[i]+delta[belong[i]];
for(int i=l+1;i<r;i++)
ans+=sum[i]+delta[i]*(ed[i]-st[i]+1);
//对于每个区间的O(1)运算
for(int i=st[r];i<=y;i++)
ans+=a[i]+delta[belong[i]];
}
return ans;
}
```
我们会发现，对于一个分块程序来说，期望的时间总复杂度为：$O(m\sqrt n)$，对于 $50000$ 来说完全能跑开。
# 三、树状数组浅谈
## （一）关于树状数组的正确释义
首先要知道一个很重要的点：
**树状数组用的是树结构的思想(也就是树型逻辑结构)，而不是真正的“树形结构”**，初学者不要被强行拉入坑啊（换句话说，从某种意义上，树状数组跟树其实——————没有特别大的关系）。
那它为什么被叫作树状数组呢？
## （二）树状数组的存储特点
首先解释，树状数组支持的操作：
1、区间和、区间异或和、区间乘积和 RMQ（**显然，支持的操作都具有交换律，这也算是树状数组的一大特性吧**）
2、单点修改（**朴素的树状数组结构不支持区间修改，当然也可以普及成区间修改结构但我们先不提**）
那为什么不直接用前缀和或者差分数组呢？
我们知道，前缀和数组的维护是 $O(n)$ 的，查询、修改是 $O(1)$ 的。然而，树状数组的维护却是 $O(\log n)$ 的。并且查询、修改也是 $O(1)$ 的——这便是一个很大的优化。
等等，$\log n$？有点眼熟诶。再提示提示，这个 $\log$ 实际意义其实是 $\log$ 以 $2$ 为底———————
对，没猜错，就是二进制表示法，也就是二叉树上数据之间的特殊逻辑关系！
实际上，对于树状数组的每一个 i，其实际意义应该为：
**算上其本身的讯息，总共存储了 $2^k$ 个元素的信息，其中 $k$ 表示 $i$ 在二进制下，末尾零的个数，同时也可以表示最小的含 1 位的二进制权值——换句话讲，$2^k$ 即可表示成：对于每个二进制意义下的 $i$，从最末位数 $k+1$ 位，保留这 $k+1$ 位并删除 $k+1$ 位以左的所有数位上的数，留下的新二进制数的实际大小。**
而对于每一个x的最低含一位，即上文中的 $2^k$，可以借助一个 $\rm lowbit$ 函数实现——而这个的实现方式是很玄学的：
```cpp
inline int lowbit(int x)
{
//return (x^(x-1))&x;
return x&(-x);
}
```
上文代码中给了两种不同的实现方式，而这两种中，有一种是通过数学+二进制的方式得出，另一种则是通过计算机编码特性得出——我实在懒得证了。
（三）树状数组的建立、维护和查询
建立：此处拿求区间和为样例
```
void build()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{cin>>a[i];tree[i]=i;}//一开始先赋初值
}
```
维护：看注释
```cpp
void updata(int x,int k)
{
for(;x<=n;x+=lowbit(x))
tree[x]+=k;
//此处可以如是想：lowbit取出的是当前x的最低含一位
//权值位，相加后等于向高位进位，并且已有的数位永远为零
//这就可以推出：每当x值+=lowbit(x)时，都会有进位，并且
//进位后的新x值一定包含所有原来的x值，也就是说，这一步
//充分地向上进位，达到区间和更新的目的。
}
```
询问：从大到小枚举，比较方便。
```cpp
long long query(int x){
int ans;
for(;x;x-=lowbit(x))
ans=ans+tree[x];
return ans;
}
```
整合：相减即可。
```cpp
inline long long my_union(int x,int y)
{
return query(x)-query(y-1);
}
```
因此操作的复杂度均为单次 $O(\log n)$。