题解 P4285 【[SHOI2008]汉诺塔】

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提供一种打表新思路

先来证明一个其他题解都没有证明的结论：ans[i]是可由ans[i-1]线性递推的。

（ans[i]表示i个盘子全部移走的步数）

感谢keytoyzi神仙的神仙思路

首先，在最初两层移动的时候，遵循的移动顺序规则是题中所给的顺序。

在n个盘子都在A柱的时候，我们是怎么做的呢？

先把前n-1个盘子按照遵循初始顺序规则的方法移动到B或C；

再对第n个盘子进行操作；

再进行某些操作（后文会展开）；

最后所有盘子移动到B或者C。

这等价于：

每一层对应一个新规则，把前n-1层盘子看做一层，那就相当于按照这个新的规则移动一个两层的东西。

这个新规则是啥意思呢？光说理论太难以理解，上图：

解释一下：n-1代表前n-1个盘子，这些盘子根据初始规则可能移动到B或者C，而把他们看做一个整体后，相当于上图的遵循初始规则的移动方式，而这种新的移动方式，就是一个新的规则。

再来两张状态转移的图：

（单箭头表示这一步操作优先级高于另一侧）

解释一下这张图。

刚开始对于前n个盘子形成的新规则：

根据这个规则进行第$n+1$层的操作：（以$A \to C$为例） 先把$A$上的前$n$个盘子扔到$B$上；（$A(n)$） 再把$A$最底下的第$n+1$个盘子扔到$C$上；（$1$） 再把扔到$B$上的前$n$个盘子扔到$C$上。（$B(n)$） 故总步骤数为$A(n)+1+B(n)$。 同理，那么这就给出了一组递推关系。 易得，如果$n$满足左图，则$n+1$满足右图； 如果$n$满足右图，则$n+1$满足左图。 也就是说，这两张图中的状态可以互相转换。 又，$ABC$是等价的，故这张图对应了一种可能的答案（答案$1$）。 ![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/pic/46258.png ) 这张图更复杂一些，不过实质和刚刚的相同。 以$A\to B$为例。 先把$A$上的前$n$个盘子扔到$B$上；（$A(n)$） 再把$A$最底下的第$n+1$个盘子扔到$C$上；（$1$） 再把$A$上的这n个盘子扔回$A$上；（$B(n)$） 再把$C$上的第n+1个盘子扔到$B$上；（$1$） 再把$A$上的那$n$个盘子扔回$B$上。（$B(n)$） 故总步骤数为$A(n)+1+B(n)+1+B(n)$。 同理易得，如果n满足左图，则n+1满足右图； 如果$n$满足右图，则$n+1$满足左图。 也就是说，这两张图中的状态还是可以互相转换。 而在这张图上，$AB$是等价的，$C$是另一种情况，故这张状态图对应了两种可能的答案： $AB$对应的状态为初始$A$柱（答案$2$） 或 $C$对应的状态为初始$A$柱（答案$3$）。 ------------ 好，那么现在对应这三种情况做一种简单的分析。 ### 对于第一种答案： $ABC$等价，故$A(n)=B(n)=C(n)=ans_1[n]

由图中的递推公式，ans_1[n+1]=ans_1[n]*2+1

对于第二种答案：

AB$等价，$A(n)=B(n)=ans_2[n] ans_2[n+1]=ans_2[n]*3+2

对于第三种答案：

AB$等价，$A(n)=B(n)=ans_2[n] ans_3[n+1]=ans_2[n]+ans_3[n]+1

这是一个线性表达式。

证毕。

所以，我们只需要知道移动一个盘子、两个盘子、三个盘子的情况，即可知道递推公式进而求解。

手动模拟打表，容易得到以下结果：

（ans[i]表示i个盘子全部移走的步数）

一个盘子：

ans[1]=1

两个盘子：

(1)AB>AC

①BC>BA，ans[2]=3
②BC<BA，ans[2]=5

(2)AB<AC

这里可以看做把BC柱子换了个位置

①ans[2]=3：原BC>BA，把BC换了个位置后变成CB>CA
②ans[2]=5：原BC<BA，同理变成CB<CA

三个盘子：

(1)AB>AC

①BC>BA
(i)CB>CA，ans[3]=9
(ii)CB<CA，ans[3]=7

②BA>BC

ans[3]=17

(2)AB<AC

同理，不再赘述

下附递推AC代码：

#include<stdio.h>
char a[4];
int seq[3][3];
long long ans[40];
int main(){
    int i,n;
    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<6;i++){
        scanf("%s",a);
        seq[a[0]-'A'][a[1]-'A']=6-i;
    }
    if(seq[0][1]>seq[0][2]){//AB>AC
        if(seq[1][2]<seq[1][0]){//BC<BA
            ans[2]=5;ans[3]=17;
        }else{
            if(seq[2][0]>seq[2][1]){//CA>CB
                ans[2]=3;ans[3]=7;
            }else{
                ans[2]=3;ans[3]=9;
            }
        }
    }else{//AB<AC 
        if(seq[2][1]<seq[2][0]){//CB<CA
            ans[2]=5;ans[3]=17;
        }else{
            if(seq[1][0]>seq[1][2]){//BA>BC
                ans[2]=3;ans[3]=7;
            }else{
                ans[2]=3;ans[3]=9;
            }
        }
    }
    ans[1]=1;
    int b=(ans[2]*ans[2]-ans[1]*ans[3])/(ans[2]-ans[1]);
    int k=(ans[2]-b)/cnt1;
    for(i=4;i<=n;i++)ans[i]=ans[i-1]*k+b;
    printf("%lld",ans[n]);
    return 0;
}

其实，这已经没有必要写成递推形式了。我们在讨论三种答案的时候，其实已经可以手算算出三种情况的O(1)表达式了。

来一发最短AC代码

#include<stdio.h>
#include<math.h>
typedef long long ll;
char a[4];
int s[9],p,n,i=6;
ll f(int x){
    if(x==1)return (ll)2*pow(3,n-1)-1;
    if(x)return (ll)pow(2,n)-1;
    return (ll)pow(3,n-1);
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    while(i--)scanf("%s",a),s[(a[0]-'A')*3+a[1]-'A']=i;
    if(s[1]>s[2]){
        if(s[5]<s[3])p=1;
        else if(s[6]>s[7])p=2;
    }else if(s[7]<s[6])p=1;
    else if(s[3]>s[5])p=2;
    printf("%lld",f(p));
    return 0;
}