题解 P2971 【[USACO10HOL]牛的政治Cow Politics】
Steven_Meng
2019-07-22 18:30:53
[传送门](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2971)
[你真的不到我的博客看一眼吗？](https://gaisaiyuno.github.io/archives/b13f4097.html)
扫了一眼题解，发现没有一个严谨证明的，那么我就来证明一波吧。
首先，我们看一看如何求树的直径：
$1.$随便定一个根节点，第一遍$bfs$求出树中深度最深的节点，记为$u$。
$2 .$以$u$为根节点，第二遍$bfs$求出树中深度最深的点$v$
$3.$树的直径的端点即为$u,v$
------------------
类比到此题：
我们把政党$p$中的牛最深的记为$\max p$
发现：**$p$政党最长的链一定是某个$p$政党的牛和$\max p$构成的**（类似于树的直径）
考虑如何证明这个结论，采用反证法（自己画一个图比较好理解）：
> 声明：为了简化证明，我们记$ab$为树上$ab$两点的最短路径，$dep(a)$为节点$a$在树中的深度。
设某个$p$政党的牛$a$和另一个深度小于$\max p $的牛$b$构成了最长的链。
首先，我们求出$lca (a,b)$，设为$c$，求出$lca(a,\max p)$，设为$c'$。
我们可以知道，$c'$，$c$有直接的祖先关系，也有可能$c=c'$，简单来说，就是在同一条到根节点的链上。（这一点参见虚树的证明）
考虑两种情况：
$1.c'$的祖先为$c$（如图），那我们有$c'\max p+cc'+dep(c)=dep({\max p})$，且$cb+dep(c)=dep(b)$，
由$dep(b) < dep({\max p})$，两式相减，发现$dep(c)$抵消，我们有$cb<c' \max p+cc'...x$
发现$ab=ac'+c'c+cb$，且$a\max p=ac'+c'\max p$，将$x$式代入，我们有$ab=ac'+c'c+cb<ac'+c'c+c'\max p+c'c=a\max p+cc' \times 2$
由于$c'$的祖先为$c$，所以$cc'>0$，所以$ab<a\max p$，假设错误。
$2.c$的祖先为$c'$，证明方法差不多，不再赘述。
所以，我们求一波$LCA$，然后预处理出$\max p$，最后暴力扫过一遍所有的牛，求出答案。
时间复杂度$O(n\log n)$
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 200005
#define MAXM 25
using namespace std;
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){
if (ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while (ch>='0'&&ch<='9'){
x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^'0');
ch=getchar();
}
return x*f;
}
vector<int>G[MAXN];
inline void AddEdge(int u,int v){
G[u].push_back(v);
}
int anc[MAXN][MAXM],dep[MAXN],n,m;
void dfs(int u,int father){
anc[u][0]=father;
for (register int i=1;i<MAXM;++i){
anc[u][i]=anc[anc[u][i-1]][i-1];
}
for (register int i=0;i<G[u].size();++i){
int v=G[u][i];
if (v!=father){
dep[v]=dep[u]+1;
dfs(v,u);
}
}
}
inline int LCA(int u,int v){
if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
for (register int i=MAXM-1;i>=0;--i){
if (dep[anc[u][i]]>=dep[v]){
u=anc[u][i];
}
}
if (u==v) return u;
for (register int i=MAXM-1;i>=0;--i){
if (anc[u][i]!=anc[v][i]){
u=anc[u][i];
v=anc[v][i];
}
}
return anc[u][0];
}
inline void Init(int root){
memset(dep,0,sizeof(dep));
dfs(root,0);
}
int val[MAXN],maxu[MAXN],maxdep[MAXN],ans[MAXN];
inline int Dis(int u,int v){
return dep[u]+dep[v]-2*dep[LCA(u,v)];
}
int main(){
int n=read(),k=read();
int root;
for (register int i=1;i<=n;++i){
int a=read(),p=read();
val[i]=a;
AddEdge(i,p),AddEdge(p,i);
if (!p) root=i;
}
Init(root);
for (register int i=1;i<=n;++i){//预处理
if (dep[maxu[val[i]]]<dep[i]) maxu[val[i]]=i;
}
for (register int i=1;i<=n;++i){
ans[val[i]]=max(ans[val[i]],Dis(maxu[val[i]],i));
}
for (register int i=1;i<=k;++i){
printf("%d\n",ans[i]);
}
}
```