题解 UVA1331 【Minimax Triangulation】
Log_x
2018-04-15 15:29:21
## Solution
- 先把点统一处理成逆时针顺序(若用叉积算多边形面积为负数则为顺时针)。
- 设 $f[l][r]$ 表示从多边形上第 $l$ 个点 $A_l$ 到第 $r$ 个点 $A_r$ 之间的区域全部分割成三角形后,最大三角形面积的最小值。
- 注意因为多边形首尾顺次相接,$l$ 可以大于 $r$。
- 记 $nxt[i] = i + 1(1 \le i < n), nxt[n] = 1$,则 DP 边界为 $f[i][nxt[i]] = 0$。
- 转移为:$f[l][r] = \min\{\max\{f[l][i],\ S_{\triangle A_lA_iA_r},\ f[i][r]\}\} (\vec{A_iA_r} \times \vec{A_iA_r} > 0)$
- 注意题目给出的多边形不一定是凸多边形,可能存在如下情况:
- ![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/pic/21675.png)
- 此时 $\triangle A_l A_i A_r$ 是不合法的,但同时我们也会发现用叉积计算结果为负数,因此 DP 就只要判断 $\vec{A_iA_r} \times \vec{A_iA_r} > 0$。
- 最后答案为 $\min\{\max\{f[i][j],\ f[j][i]\}\} (i \neq j)$。
- 转移顺序不好处理,可用记忆化搜索实现。
## Code
```cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int Maxn = 0x3f3f3f3f;
const int N = 55;
int nxt[N], f[N][N], n, m, Ans;
struct point
{
int x, y;
point() {}
point(int X, int Y):
x(X), y(Y) {}
friend inline point operator - (const point &a, const point &b)
{
return point(b.x - a.x, b.y - a.y);
}
friend inline int operator * (const point &a, const point &b)
{
return a.x * b.y - b.x * a.y;
}
}a[N];
inline int Max(int x, int y) {return x > y ? x : y;}
inline int Min(int x, int y) {return x < y ? x : y;}
inline void CkMin(int &x, int y) {if (x > y) x = y;}
inline int dp(int l, int r)
{
if (f[l][r] != -1) return f[l][r];
if (r == nxt[l]) return f[l][r] = 0;
int res = Maxn;
for (int i = nxt[l]; i != r; i = nxt[i])
{
int tmp = (a[i] - a[r]) * (a[i] - a[l]);
if (tmp > 0) CkMin(res, Max(Max(dp(l, i), tmp), dp(i, r)));
}
return f[l][r] = res;
}
int main()
{
while (scanf("%d", &m) != EOF)
{
while (m--)
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
scanf("%d%d", &a[i].x, &a[i].y);
for (int i = 1; i < n; ++i)
nxt[i] = i + 1; nxt[n] = 1;
int sum = 0;
for (int i = 1; i < n; ++i)
sum += a[i] * a[i + 1]; sum += a[n] * a[1];
if (sum < 0)
for (int i = 1, im = n >> 1; i <= im; ++i)
swap(a[i], a[n - i + 1]);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
f[i][j] = -1;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
if (i != j) dp(i, j);
Ans = Maxn;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
if (i != j) CkMin(Ans, Max(f[i][j], f[j][i]));
printf("%.1lf\n", (double)Ans / 2.0);
}
}
return 0;
}
```