题解 P2181 【对角线】

2018-03-12 13:36:24


这明明是一道组合数的题,,,不懂为什么会放在计算几何当中。。。。

感觉下面几个题解都只是放了个公式,并没有具体讲怎么来的

(如果你觉得“在经过一些排列组合的技巧,就可以得出”算具体的话就另当别论了)

感觉推起来还是很妙的

其实这和对角线的公式没什么关系。。。。

首先由于不会有三条对角线交于一点,所以过某一个交点有且只能有2条对角线

而这两条对角线实质上是确定了4个顶点(也可以看做是一个四边形的两条对角线交于一点,求四边形的数量)。

因此我们只需要确定4个顶点就得到了这个唯一确定的交点。

因此我们只需要求这样4个顶点的搭配有多少个了

也就是从n个顶点中取4个出来。

根据组合数的公式,(如果你不知道组合数的公式可以这么推:第一次取可以n个点都是可以取的,第二次取的时候第一个取的点就不能取了,所以只能取(n-1)种,以此类推)

由于改变四个点的顺序不会改变对角线,因此是求的组合而不是排列,也就要除以4!,也就是24

于是我们就得到了公式: n (n-1) (n-2) * (n-3) / 24

同时为了防止爆掉,但又不想写高精,

我们可以采用一种化简的技巧

于是原式可以化为:

n (n-1) / 2 (n-2) / 3 * (n-3) / 4

那为什么这样一定是对的呢?难道不会因为除不尽却向下取整而导致错误吗?

事实上是一定除得尽的

首先n和n-1一定有一个是2的倍数,因此2可以除尽,

同理n,n-1,n-2中一定有一个是3的倍数,因此3可以除尽(除掉2只会消除因数2而对3没有影响)

同理4也可以除尽

完\(^o^)/~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
unsigned long long n,ans;
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    ans=n * (n-1) / 2 * (n-2) / 3 * (n-3) / 4;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}