题解 P4735 【【模板】扩展卢卡斯】

扩展卢卡斯定理。 首先，得确定先会扩展欧几里得算法和扩展中国剩余定理。至于卢卡斯定理，那并不重要。 设$p=\prod p_i^{k_i}$，则: 假如你已经求出了$\binom{n}{m}\bmod{p_i^{k_i}}$，那么明显是可以利用$CRT$来合并答案的。 那么问题转换为如何求出$\binom{n}{m}\bmod{p^k}$($p$是质数)。 可以知道: $$\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$ 那么问题即转化为求出几个阶乘和阶乘的逆元。 现在，问题归为如何快速求出阶乘。 为了便于统计出现了多少个$p$的次幂，先将阶乘中所有$p$的倍数提出来。可以简单算出，一共有$\displaystyle\lfloor\frac{n}{p}\rfloor$个。这中间每一项都除去$p$，可以得到$\displaystyle\lfloor\frac{n}{p}\rfloor!$。该部分可以选择递归求解。 那么接下来只剩下非$p$的倍数的几项了。通过简单观察可以知道，剩余几项具有循环节，循环节长度小于$p^k$。原因是剩余项关于$p$具有循环节，而$a+p^k\equiv a\pmod{p^k}$，所以可以一起计算。结果会剩下几项凑不齐一个循环节，但是这几项长度已经小于一个循环节了，可以选择暴力求解。 为了更好地理解上方几条，可以举个栗子: 当$n=19,p=3,k=2$时: $n!=1*2*3*\cdots*19$ $=(1*2*4*5*7*8*10*11*13*14*16*17*19)*3^{6}*6!$ $\equiv(1*2*4*5*7*8)^2*19*3^6*6!$ 这样就可以在可承受的时间复杂度内求出阶乘。但是，为了达到除法的效果，我们需要考虑$p$的次幂一共出现了多少次。根据前面的计算，可以知道只除去一个$p$时，$n!$内包括了$\displaystyle\lfloor\frac{n}{p}\rfloor$个$p!$。剩下的数字如果要可能存在$p$的次幂也可以归为一个阶乘，即$\displaystyle\lfloor\frac{n}{p}\rfloor!$。设$f(n)$表示$n!$中有多少个$p$的因数，那么，我们就可以得到一个递推式: $$f(n)=f(\displaystyle\lfloor\frac{n}{p}\rfloor)+\displaystyle\lfloor\frac{n}{p}\rfloor$$ 边界为: $$f(x)=0(x<p)$$ 开始计算时间复杂度。 首先是中国剩余定理的复杂度，可以简单查到是$O(plogP)$的。(其中$P$是模数，$p$是最大质因子)。 然后是求阶乘复杂度。当求$n!\bmod p^k$时，时间复杂度为$O(p^klogn(log_pn-k))$(玄学) 最后是求逆元的复杂度。利用扩展欧几里得可以做到$O(logp)$(可忽略)。 因此，总复杂度为 $$O(\sum p^klogn(log_pn-k)+plogP)$$ 这个复杂度和$PlogP$同级。 ext: 如果要同时计算多个组合数膜同一个合数时，可以选择对每个质因子 $p$ ，对每个 $n\le p^k$ 预处理出小于等于它且不整除 $p$ 的数字之积。这样的话，求阶乘的复杂度会变成 $O(\log_{p^k}n)$ ，总复杂度就可以降到 $$O(\sum p^k +T\log_{p^k} n)$$ 代码(ext部分没有贴代码): ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) { if(!b){x=1;y=0;return a;} ll res=exgcd(b,a%b,x,y),t; t=x;x=y;y=t-a/b*y; return res; } ll p; inline ll power(ll a,ll b,ll mod) { ll sm; for(sm=1;b;b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1) sm=sm*a%mod; return sm; } ll fac(ll n,ll pi,ll pk) { if(!n)return 1; ll res=1; for(register ll i=2;i<=pk;++i) if(i%pi)(res*=i)%=pk; res=power(res,n/pk,pk); for(register ll i=2;i<=n%pk;++i) if(i%pi)(res*=i)%=pk; return res*fac(n/pi,pi,pk)%pk; } inline ll inv(ll n,ll mod) { ll x,y; exgcd(n,mod,x,y); return (x+=mod)>mod?x-mod:x; } inline ll CRT(ll b,ll mod){return b*inv(p/mod,mod)%p*(p/mod)%p;} const int MAXN=11; static ll n,m; static ll w[MAXN]; inline ll C(ll n,ll m,ll pi,ll pk) { ll up=fac(n,pi,pk),d1=fac(m,pi,pk),d2=fac(n-m,pi,pk); ll k=0; for(register ll i=n;i;i/=pi)k+=i/pi; for(register ll i=m;i;i/=pi)k-=i/pi; for(register ll i=n-m;i;i/=pi)k-=i/pi; return up*inv(d1,pk)%pk*inv(d2,pk)%pk*power(pi,k,pk)%pk; } inline ll exlucus(ll n,ll m) { ll res=0,tmp=p,pk; static int lim=sqrt(p)+5; for(register int i=2;i<=lim;++i)if(tmp%i==0) { pk=1;while(tmp%i==0)pk*=i,tmp/=i; (res+=CRT(C(n,m,i,pk),pk))%=p; } if(tmp>1)(res+=CRT(C(n,m,tmp,tmp),tmp))%=p; return res; } int main() { scanf("%lld%lld%d",&n,&m,&p); printf("%d\n",exlucus(n,m)); return 0; } ```