解题报告 P1108 【低价购买】（最长下降子序列）

这不是一道简单的求最长下降子序列的问题。 ### ——因为这个题要输出不同种的方案数 题目要求是“它们构成的价格队列不一样”，那么我准备拿一个数组存下这个最长下降子序列，但是这不现实，检查是否匹配是在最坏的情况下可能达到$Θ(N^3)$。 于是有了现在的解法，让我来**简单**~~证明~~**说明**一下 在$dp$过程中，$f$数组存的是最长下降子序列的长度，$f$数组的下标$i$是以$i$结尾的意思，所以最长下降子序列（除了最后一位外）的数据已经丢失，**因此不能**在方案数相加时**再**判断是否能加。 我们从头来看， 1. 如果一个数列的第一个数与另一个数列的第一个数相同，那么现在可以判断它们相等，即可以**把其中一个删掉**（在代码中的处理是$t[i]=0$）。当不同的数接在它的后面时，又可以将它们判断为两个数列，这是不互相影响的。因为两个数列都可以由这个相等的数列转移而来 1. 如果一个数列的第一个数与另一个数列的第一个数不同，那么它们不等，且无论后面添加什么，都不相等，即**不删去**，则按照普通的判断继续做。 由上面的两点，我们已经把重复的删掉，这样可以**防止重复计数**。 $tip$：本题如果出现在考试中，请不要冒险定义int，因为maxint是$2^{31}-1$，会爆int，这个题暂不做深究 Code： --------- ```cpp #include<cstdio> #include<cstring> int max(int x,int y){return x>y?x:y;} int a[5001],f[5001],t[5001]; //a[i]存的是第i天股票的价格 //f[i]存的是第i天最长下降子序列的长度 //t[i]存的是以i结尾的最长下降子序列的种类（方案） int main() { memset(f,0,sizeof(f));//初始化长度 memset(t,0,sizeof(t));//初始化方案 int n,maxx=0; scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<i;j++) if(a[i]<a[j])//延长已经存在的最长下降子序列 f[i]=max(f[i],f[j]+1); if(f[i]==0) f[i]++;//如果当前的数是目前为止最大的，则最长下降子序列是自己 if(f[i]>maxx) maxx=f[i];//在f数组更新完毕后，存下最长下降子序列的长度 for(int j=1;j<i;j++) if(f[i]==f[j]&&a[i]==a[j]) t[j]=0;//如果与前面的数列相同，则舍去前面的数列，防止重复计数 else if(f[i]==f[j]+1&&a[i]<a[j]) t[i]+=t[j];//如果可以接上前面的数列，则继承其方案数 if(!t[i])//如果当前的数是目前为止最大的，则是初始方案 t[i]=1; } int sum=0;//sum计数，用于存最长下降子序列（方案）的个数 for(int i=1;i<=n;i++) if(f[i]==maxx) sum+=t[i]; printf("%d %d",maxx,sum); return 0; } ```