解题报告 P1108 【低价购买】(最长下降子序列)

2018-02-27 21:06:04


这不是一道简单的求最长下降子序列的问题。

——因为这个题要输出不同种的方案数

题目要求是“它们构成的价格队列不一样”,那么我准备拿一个数组存下这个最长下降子序列,但是这不现实,检查是否匹配是在最坏的情况下可能达到 $Θ(N^3)$ 。

于是有了现在的解法,让我来简单证明说明一下

在 $dp$ 过程中, $f$ 数组存的是最长下降子序列的长度, $f$ 数组的下标 $i$ 是以 $i$ 结尾的意思,所以最长下降子序列(除了最后一位外)的数据已经丢失,因此不能在方案数相加时判断是否能加。

我们从头来看,

  1. 如果一个数列的第一个数与另一个数列的第一个数相同,那么现在可以判断它们相等,即可以把其中一个删掉(在代码中的处理是 $t[i]=0$ )。当不同的数接在它的后面时,又可以将它们判断为两个数列,这是不互相影响的。因为两个数列都可以由这个相等的数列转移而来
  2. 如果一个数列的第一个数与另一个数列的第一个数不同,那么它们不等,且无论后面添加什么,都不相等,即不删去,则按照普通的判断继续做。

由上面的两点,我们已经把重复的删掉,这样可以防止重复计数

$tip$ :本题如果出现在考试中,请不要冒险定义int,因为maxint是 $2^{31}-1$ ,会爆int,这个题暂不做深究

Code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
int a[5001],f[5001],t[5001];
//a[i]存的是第i天股票的价格
//f[i]存的是第i天最长下降子序列的长度
//t[i]存的是以i结尾的最长下降子序列的种类(方案)
int main()
{
    memset(f,0,sizeof(f));//初始化长度
    memset(t,0,sizeof(t));//初始化方案
    int n,maxx=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(a[i]<a[j])//延长已经存在的最长下降子序列
                f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        if(f[i]==0)
            f[i]++;//如果当前的数是目前为止最大的,则最长下降子序列是自己
        if(f[i]>maxx)
            maxx=f[i];//在f数组更新完毕后,存下最长下降子序列的长度
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(f[i]==f[j]&&a[i]==a[j])
                t[j]=0;//如果与前面的数列相同,则舍去前面的数列,防止重复计数
            else if(f[i]==f[j]+1&&a[i]<a[j])
                t[i]+=t[j];//如果可以接上前面的数列,则继承其方案数
        if(!t[i])//如果当前的数是目前为止最大的,则是初始方案
            t[i]=1;
    }
    int sum=0;//sum计数,用于存最长下降子序列(方案)的个数
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(f[i]==maxx)
            sum+=t[i];
    printf("%d %d",maxx,sum);
    return 0;
}