题解 P1841 【[JSOI2007]重要的城市】bitset题解

我的blog传送门：[wjyyy](http://www.wjyyy.top/1195.html) 因为Floyd是一种玄学DP思想，所以它的状态更新来源有很多，在这个题里需要整理出它的阶段性与转移，~~看上去~~十分麻烦。而我们如果把Floyd当作最短路算法中的松弛，就是相当于在把两段最短路拼接在一起，拥有它们合在一起的性质。 ### 重要城市    重要城市就是如果这个点被删掉，那么最短路的长度就会改变。因此这个点一定在最短路上。而当两点间的最短路有多条时，它们上的点不一定都是**重要城市**，经过分析我们可以这样理解：设$(u,v)$间最短路条数为$k$，重要城市为$p$，那么这$k$条最短路一定都经过点$p$。用反例来说明，就是如果不是$k$条最短路都经过点$p$，那么去掉点$p$，还有剩下的最短路可以走，则不合法。    因此我们可以开一个三维数组$\mathrm{im[i][j][k]}$表示k在$i,j$的几条最短路上。而我们用floyd做最短路计数也比较方便，一旦$k$所在的最短路数量与$(i,j)$间的最短路数量相同，那么$k$就一定是一个重要城市，判断条件为$im[i][j][k]==cnt[i][j]\Rightarrow k$是重要城市。     在上图中，1→8最短路计数为3，其中除了起点和终点，被经过了3次的点的点有2和7，因此它们是这条路径上的重要城市。    因为floyd的时间复杂度为$O(N^3)$，而每次更新还要循环一个$N$，因此总时间复杂度为$O(N^4)$。 ### bitset优化    我们在上面提到，状态合并/更新需要额外枚举一个$O(N)$，我们可不可以把这个$N$省掉，或者说优化一点呢    这时可以考虑$\mathrm{bitset}$，$\mathrm{bitset}$可以使常数优化32倍，这个题的$N$规模才200，优化一个32就快把一个$N$变成一个$\log N$了，这个题的数据规模还是可以承受的。不过$\mathrm{bitset}$存的是二进制啊，可是上面提到的数组存的是计数啊。    我们可以换一个方式想想，如果这两个点之间已经找到了4条最短路，其中有3条经过点$p$，那此时$p$已经不合法了，就直接把它置为0，以后尽管所有路径都经过$p$，它也不可能是关键城市。    因此$\mathrm{bitset}$中$\mathrm{im[i][j][k]}$里面存的是，现有状态下，k是不是i到j最短路上的关键城市。当**更新（松弛）最短路**时，关键城市是两段最短路上的关键城市之**并集**；而更新**最短路计数**，也就是找到了一条新的最短路时，如上图，就要取**交集**，因为一个城市只有在两点间任何一条最短路上都存在，才能作为这两点间的关键城市。而交集并集在位运算中就是and(&)和or(|)，而点集有200，普通的位运算完成不了，就让bitset来做。    在一开始初始化时，把两个连接在一起的点上的关键城市设为两个端点，在floyd“松弛”最短路时，直接把两段最短路的关键城市“拼起来”，就是新的最短路上的关键城市。最后判断用$O(N^3)$遍历，看一个点是否为某两个点之间的关键城市，不过要注意不能与这两个点重合，因为为了方便，一开始我们把起点和终点也定为关键城市（符合关键城市的一般定义）。    因此这道题的总复杂度为$$O(\frac{N^4}{32}+N^3)$$ ## Code： ```cpp #include<cstdio> #include<cstring> #include<bitset> using std::bitset; bitset<210> im[210][210]; int f[210][210]; int is[210]; int main() { memset(f,0x3f,sizeof(f)); int u,v,n,m; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=0; for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d",&u,&v); scanf("%d",&f[u][v]); f[v][u]=f[u][v]; } for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) { im[i][j][i]=1;//初始化设两端为重要城市 im[i][j][j]=1; } for(int k=1;k<=n;k++) for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) if(f[i][k]+f[k][j]==f[i][j]) im[i][j]&=(im[i][k]|im[k][j]);//当更新计数时取交集 else if(f[i][k]+f[k][j]<f[i][j])//当更新最短路时直接赋值为两段的并集 { f[i][j]=f[i][k]+f[k][j]; im[i][j]=im[i][k]|im[k][j]; } for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) for(int k=1;k<=n;k++) if(k!=i&&k!=j)//注意特判 if(im[i][j][k]) is[k]=1; int flag=0; for(int i=1;i<=n;i++) if(is[i]) { flag=1; printf("%d ",i); } if(!flag)//注意判断无解 puts("No important cities."); return 0; } ```