树形DP之题解 P2014 【选课】

2018-03-04 19:39:24


【选课】这道题看上去是一道进阶版的树形DP,因为其中嵌套了一定的背包的思想

代码流程:首先建树存图,这里的处理有一个小技巧,就是如果有多个根结点,那么不容易进行DFS,所以我们构造出一个 $0$ 结点,刚好,输入时也是用 $0$ 来代替的,这样只用在最后输出时调用 $\mathrm{[m+1]}$ 即可。s数组代表该结点有几个儿子,之后在DFS中更新为后代个数,p数组代表结点的权值,(图中黑色数字)样例 然后开始DFS,DFS的回溯是树形DP的重点以及核心。

我们DFS的搜索边界是链表的尾端,当回溯结束后, $root$ 的子树已经被遍历完并处理完了。这便是树形DP的最重要的特点。

背包过程中嵌套了三重循环(实际加上DFS的是四重), 首先 $\mathrm {r=root->next}$ 枚举了 $\mathrm {root}$ 的子树 子树间不会互相影响,所以这些可以分开做。 但是 $j$ 和 $k$ 的顺序一定要分好,因为是相当于 $01$ 背包,所以 $k$ 要倒序, $j$ 是用来枚举 $\mathrm {r->data}$ 即正在遍历的点的儿子个数,因为现在正在遍历的点已经被DFS过了(要不然不会退到这个 $x$ 结点的),则它是当前状况的最优解,可以从那边转移过来。但是 $k$ 一定要在 $j$ 前面,因为当 $k$ 相同时,不同的 $j$ 可能存在包含相同点的情况,为了避免这种情况,我们选择把k放在外面。这样 $f[x][k]$ 就不会重复更新涉及相同的点了——举个栗子 栗子

如果k循环在j里面的话,当我们更新到图中2号结点后,1号结点的f[x][k]会被更新,
在k++;后,f[x][k]在符合情况时会继续更新,这样就会导致结果出错(偏大)的情况出现

背包核心:

    while(r!=0)
    {
        for(int k=s[x];k>=1;k--)
            for(int j=1;j<=k;j++)//j是枚举r->data的选科个数
            //其中j<=k防止数组越界
                    f[x][k]=max(f[x][k],f[x][k-j]+f[r->data][j]);
        r=r->next;//链表继续遍历
    }
    for(int i=s[x];i>=0;i--)
        f[x][i+1]=f[x][i]+p[x];

为什么最后两行要单独拿出来做呢?

for(int i=s[x];i>=0;i--)
        f[x][i+1]=f[x][i]+p[x];

我们回到题面上,父亲是儿子的先修课,所以没有父亲时,儿子再多也没有用,背包中处理的子树是不带根结点的,我们要加上,否则会出现下面这种状况:否则

如果在做的过程中将根结点算入子树,那么 $\mathrm f[1][2]$ 最终值将会是 $11$ (在正确的过程中也是 $11$ ,但是会被更新到 $f[1][3]$ ),不做更新或再去做一遍更新就不对了,核心思想结束。

最后输出的是 $f[0][m+1]$ ,所以 $0$ 这个“根结点“”是非常方便的。

总结:

  1. 树形DP要根据实际情况,改变循环顺序和方向;
  2. 要判断根结点是否包含在子树,并在这个判断最终稍加处理
  3. 状态要保存准确,不能丢失要用到的状态

Code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
struct node
{
    int data;
    node *next;
    node()
    {
        next=NULL;
    }
};
node head[301],*tail[301];//用于链表
int f[301][301],s[301],n,m,p[301];
void dfs(int x)
{
    node *root;
    root=&head[x];
    node *r=root->next;
    while(root->next!=0)
    {
        root=root->next;
        dfs(root->data);
        s[x]+=s[root->data];
    }
    //开始背包
    while(r!=0)
    {
        for(int k=s[x];k>=1;k--)
            for(int j=1;j<=k;j++)//j是枚举r->data的选科个数
                    f[x][k]=max(f[x][k],f[x][k-j]+f[r->data][j]);
        r=r->next;
    }
    for(int i=s[x];i>=0;i--)
        f[x][i+1]=f[x][i]+p[x];
    return ;
}
int main()
{
    memset(s,0,sizeof(s));
    memset(f,0,sizeof(f));
    int a,b;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=n;i++)
        tail[i]=&head[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)//建树存图
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        s[a]++;
        node *t=new node();
        t->data=i;
        p[i]=b;
        tail[a]->next=t;
        tail[a]=t;
    }
    dfs(0);
    printf("%d\n",f[0][m+1]);//m+1是因为把0当做一个结点(课程)
    return 0;
}