题解 CF538H 【Summer Dichotomy】
xht
2020-01-13 02:37:15
> [CF538H Summer Dichotomy](https://codeforces.com/contest/538/problem/H)
## 题意
- 有 $T$ 名学生，你要从中选出至少 $t$ 人，并将选出的人分成两组，可以有某一组是空的。
- 有 $n$ 名老师，每名老师要被分配到两个小组之一，对于第 $i$ 名老师，要求所在的小组中的学生人数 $\in [l_i, r_i]$。
- 此外，有 $m$ 对老师不能在同一个小组中。
- 你需要判断能否满足所有要求，如果可以，请给出一种方案。
- $t \le T \le 10^9$，$n,m \le 10^5$。
## 题解
先不考虑 $t,T$ 的限制，可以证明 $n_1 = \min_{i=1}^n r_i$，$n_2 = \max_{i=1}^n l_i$ 是最优的。
证明如下：
将所有 $[l_i, r_i]$ 当作一条数轴上的线段，那么有三种情况：
1. 有三条线段两两不交，则无解。
2. 所有线段两两有交，即有 $n_1 \ge n_2$，则在这种情况下，每个老师都可以随意的选择小组。
3. $n_1 < n_2$，在这种情况下，显然 $n_1$ 不能更大，而更小则不优，$n_2$ 同理。
因此 $n_1 = \min_{i=1}^n r_i$，$n_2 = \max_{i=1}^n l_i$ 一定是最优的。
如果考虑 $t,T$ 的限制呢？可以发现，若 $n_1 + n_2 < t$，则无论哪种情况下，只增大 $n_2$ 是最优的；若 $n_1 + n_2 > T$，则无论哪种情况下，只减小 $n_1$ 的最优的。
因此我们可以直接求出最优的 $n_1,n_2$，最后做一次二分图染色即可。
时间复杂度 $\mathcal O(n+m)$。
## 代码
```cpp
#define Fail return prints("IMPOSSIBLE"), 0
const int N = 1e5 + 7;
int t, T, n, m, l[N], r[N], n1 = 1e9 + 1, n2 = -1, c[N];
vi e[N];
inline bool pd(int x, int i) {
return l[i] <= x && x <= r[i];
}
bool dfs(int x) {
for (auto y : e[x])
if (!c[y]) {
c[y] = 3 - c[x];
if (!dfs(y)) return 0;
} else if (c[x] == c[y]) return 0;
return 1;
}
int main() {
rd(t), rd(T), rd(n), rd(m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
rd(l[i]), rd(r[i]), n1 = min(n1, r[i]), n2 = max(n2, l[i]);
if (n1 + n2 < t) n2 = t - n1;
if (n1 + n2 > T) n1 = T - n2;
if (n1 < 0 || n2 < 0) Fail;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
bool o1 = pd(n1, i), o2 = pd(n2, i);
if (!o1 && !o2) Fail;
if (o1 && !o2) c[i] = 1;
if (!o1 && o2) c[i] = 2;
}
for (int i = 1, x, y; i <= m; i++)
rd(x), rd(y), e[x].pb(y), e[y].pb(x);
for (int i = 1; i <= n; i++) if (c[i] && !dfs(i)) Fail;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (!c[i]) {
c[i] = 1;
if (!dfs(i)) Fail;
}
string ans = "";
for (int i = 1; i <= n; i++) ans += c[i] + '0';
prints("POSSIBLE"), print(n1, ' '), print(n2), prints(ans);
return 0;
}
```