题解 P6086 【【模板】Prufer 序列】
xht
2020-02-12 00:15:09
## Prufer 序列
Prufer 序列可以将一个带标号 $n$ 个节点的树用 $[1,n]$ 中的 $n-2$ 个整数表示,即 **$n$ 个点的完全图的生成树**与**长度为 $n-2$ 值域为 $[1,n]$ 的数列**构成的双射。
Prufer 序列可以方便的解决一类树相关的计数问题,比如[凯莱定理](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA10843):$n$ 个点的完全图的生成树有 $n^{n-2}$ 个。
## 对树构造 Prufer 序列
Prufer 是这样构造的:
每次选择一个编号最小的叶节点并删掉它,然后在序列中记录下它连接到的那个节点。
重复 $n-2$ 次后就只剩下两个节点,算法结束。
#### $\mathcal O(n \log n)$
显然,使用堆可以做到 $O(n\log n)$ 的复杂度。
#### $\mathcal O(n)$
使用一个指针代替堆找最小值,可以做到 $\mathcal O(n)$ 的复杂度。
具体而言,指针指向编号最小的叶节点。每次删掉它之后,如果产生了新的叶节点且编号比指针指向的更小,则直接继续删掉,否则自增找到下一个编号最小的叶节点。
#### Prufer 序列的性质
从上述构造 Prufer 序列的过程可以看出 Prufer 序列具有以下两个性质:
1. 在构造完 Prufer 序列后原树中会剩下两个节点,其中一个一定是编号最大的点 $n$。
2. 每个节点在序列中出现的次数是其度数减 $1$,因此没有出现的就是叶节点。
## 用 Prufer 序列构造树
根据 Prufer 序列的性质,我们可以得到原树上每个点的度数。
每次我们选择一个编号最小的度数为 $1$ 的节点,与当前枚举到的 Prufer 序列的点连接,然后同时减掉两个点的度数。重复 $n-2$ 次后就只剩下两个度数为 $1$ 的节点,其中一个是 $n$,把它们连接起来即可。
#### $\mathcal O(n \log n)$
同样地,显然,使用堆可以做到 $O(n\log n)$ 的复杂度。
#### $\mathcal O(n)$
类似地,使用一个指针代替堆找最小值,可以做到 $\mathcal O(n)$ 的复杂度。
具体而言,指针指向编号最小的度数为 $1$ 的节点。每次将它与当前枚举到的 Prufer 序列的点连接之后,如果产生了新的度数为 $1$ 的节点且编号比指针指向的更小,则直接继续将它与下一个 Prufer 序列的点连接,否则自增找到下一个编号最小的度数为 $1$ 的节点。
#### 【模板】[P6086 【模板】Prufer 序列](https://www.luogu.com.cn/problem/P6086)
```cpp
const int N = 5e6 + 7;
int n, o, f[N], p[N], d[N];
ll ans;
inline void TP() {
for (int i = 1; i < n; i++) rd(f[i]), ++d[f[i]];
for (int i = 1, j = 1; i <= n - 2; i++, j++) {
while (d[j]) ++j; p[i] = f[j];
while (i <= n - 2 && !--d[p[i]] && p[i] < j) p[i+1] = f[p[i]], ++i;
}
for (int i = 1; i <= n - 2; i++) ans ^= 1ll * i * p[i];
}
inline void PT() {
for (int i = 1; i <= n - 2; i++) rd(p[i]), ++d[p[i]]; p[n-1] = n;
for (int i = 1, j = 1; i < n; i++, j++) {
while (d[j]) ++j; f[j] = p[i];
while (i < n && !--d[p[i]] && p[i] < j) f[p[i]] = p[i+1], ++i;
}
for (int i = 1; i < n; i++) ans ^= 1ll * i * f[i];
}
int main() {
rd(n), rd(o), o == 1 ? TP() : PT(), print(ans);
return 0;
}
```