Mobius反演总结

2018-02-03 21:45:03


莫比乌斯反演

Tags:数论

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引用

YYB:http://www.cnblogs.com/cjyyb/p/7953803.html YL:http://www.cnblogs.com/cjoieryl/p/8250019.html ZSY:http://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/8186224.html

一、基本内容

《组合数学》P142写了详细内容,这里简单提一下:

Step1 Mobius函数

定义:

$$\mu(d)=\begin{cases} 1\quad \quad \quad d=1\\ {(-1)}^r \quad d=p1p2p3...pr\\ 0\quad \quad \quad 其他\end{cases}$$

定理:

对于任意正整数n,恒有$$\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases} 1 \quad n=1 \\ 0 \quad n>1 \end{cases}$$

证明:

$n$为$1$的时候很好证明,$n>1$的如下 首先$n$转化为$n'$,$n={p1}^{a1}{p2}^{a2}...{pk}^{ak}$,$n'=p1p2...pk$。 那么对于$d$有$n|d$那么$\mu(d)$无贡献,推出$\mu(n)=\mu(n')$ 在$k$个质数中选$0$个(偶数个系数是$1$,由定义得)$+C(k,0)$,选$1$个(奇数个系数是$-1$)$-C(k,1)$,最后的式子就是(组合数公式)$$C(k,0)-C(k,1)+C(k,2)-...\pm C(k,k)=0$$

Step2 Mobius反演

形式A

$$g(x)=\sum_{d|x}f(d)$$$$f(x)=\sum_{d|x}\mu(\frac{x}{d})g(d)$$

形式B

$$g(x)=\sum_{x|d}^{n}f(d)$$$$f(x)=\sum_{x|d}^{n}\mu(\frac{d}{x})g(d)$$ 这里给出形式$A$的证明

证明:

$$f(x)=\sum_{d|x}\mu(\frac{x}{d})\sum_{d'|d}f(d')$$ 对于每一个$f(d')$,如果说它要被计算到,那么一定存在一个$d$使得$d|x$且$d'|d$ 那么就是$\frac{x}{d'}|\frac{x}{d}$,被计算的次数是$\mu(\frac{x}{d})$$$f(x)=\sum_{d'|x}f(d')\sum_{\frac{x}{d'}|\frac{x}{d}}\mu(\frac{x}{d})$$ 然后由上面的定理得出当且仅当$\frac{x}{d}$为$1$时$\mu(\frac{x}{d})$不为$0$,为$1$,进而$$x=d,f(x)=\sum_{d'|1}f(d')=f(x)$$ 形式$B$同理可证,核心思想是把贡献提出来

Step 3 举个例子

求:$$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}[gcd(i,j)==1]$$

Way 1

令$$f(x)=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}[gcd(i,j)==x]$$$$g(x)=\sum_{x|d}^{min(N,M)}f(d)$$ 那么(中括号内表示成立为$1$否则为$0$)$$g(x)=\sum_{x|d}^{min(N,M)}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}[gcd(i,j)==d]$$$$=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}[x|gcd(i,j)]=\lfloor\frac{N}{x}\rfloor\lfloor\frac{M}{x}\rfloor$$ 进而$$f(x)=\sum_{x|d}^{min(N,M)}\mu({\frac{d}{x}})g(d)$$$$f(1)=\sum_{i=1}^{min(N,M)}\mu(i)\lfloor\frac{N}{i}\rfloor\lfloor\frac{M}{i}\rfloor$$ 加上数论分块可以$O(\sqrt{N})$完成(数论分块例题

Way 2

由上面的莫比乌斯函数的定理可以知道$$[gcd(i,j)==1]=\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)=\sum_{d|i,d|j}\mu(d)$$ 所以说$$Ans=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}\sum_{d|i,d|j}\mu(d)$$ 提贡献:把$d$提到前面来$$Ans=\sum_{d=1}^{min(N,M)}\mu(d)\sum_{d|i}^{N}\sum_{d|j}^{M}1$$即$$Ans=\sum_{d=1}^{min(N,M)}\mu(d)\lfloor\frac{N}{d}\rfloor\lfloor\frac{M}{d}\rfloor$$

二、题目

1、练基础

【HDU】GCD https://vjudge.net/problem/HDU-1695 【Luogu】[POI2007]ZAP-Queries https://www.luogu.org/show/3455 【Luogu】[HAOI2011]Problem b https://www.luogu.org/show/P2522 【Luogu】[SDOI2008]仪仗队 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2158 【SPOJ】Visible Lattice Points https://vjudge.net/problem/SPOJ-VLATTICE 【ZOJ】Ideal Puzzle Bobble https://vjudge.net/problem/ZOJ-3435 【Luogu】[NOI2010]能量采集 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1447 【CJOJ】gcd之和 https://oj.changjun.com.cn/problem/detail/pid/2512 【UVa】GCD-Extreme(II) https://vjudge.net/problem/UVA-11426 【Luogu】[国家集训队]Crash的数字表格 https://www.luogu.org/show/P1829 【Luogu】GCD https://www.luogu.org/problemnew/show/P2568 【Luogu】Hillan and the girl https://vjudge.net/problem/HDU-5663

2、刷提高

【BZOJ】完全平方数 https://ruanx.pw/bzojch/p/2440.html 【COGS】jzptab http://cogs.pro:8080/cogs/problem/problem.php?pid=2031 【HDU】Mophues https://vjudge.net/problem/HDU-4746 【HDU】Code https://vjudge.net/problem/HDU-5212 【Luogu】YY的GCD https://www.luogu.org/problemnew/show/P2257 【COGS】[BZOJ4407]于神之怒加强版http://cogs.pro:8080/cogspid=2156

3、变态题

【Luogu】P3327 [SDOI2015]约数个数和(我的题解https://www.luogu.org/3327 【SNMOJ】[安师大]sanrd(我的题解http://172.40.26.251/contest/55/problem/290

三、做题经验

1、Mobius求解以下问题

$A、$[POI2007]ZAP-Queries题解戳我)   $O(\sqrt{n})$求下式(预处理$O(n)$,还有拓展到$n$个$sigma$的Visible Lattice Points)$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==k]$$$B、$Gcd之和题解戳我)   $O(n)$求下式(jzptab要求单次询问$O(\sqrt{n})$,题解戳我)$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)$$$C、$Crash的数字表格->单次$O(n)$求下式   jzptab->单次$O(\sqrt{n})$求下式(题解戳我)$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$$$D、$Mophues题解戳我/题解戳我)   $O(n\sqrt{n})$预处理并单次$O(\sqrt{n})$求下式,$Fact(i)$表示$i$唯一分解后不同质因子的个数$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[Fact(gcd(i,j))<=P]$$$E、$Code题解戳我)   构造函数单次$O(n\sqrt{n})$求下式,$A$为给定的一个数列,$A[i]<=1w$$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}gcd(A[i],A[j])*(gcd(A[i],A[j])-1)$$$F、$约数个数和题解戳我【自己写的】)   $O(n)$预处理并单次询问$O(\sqrt{n})$处理下式,$d(i)$为$i$的约数个数详见引理$B$$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}d(ij)$$

$G、$YY的GCD题解戳我)   $O(n)$预处理并单次询问$O(\sqrt{n})$处理下式$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)为质数?1:0]$$$H、$Hillan and the girl题解戳我)   $O(n)$或$O(nloglogn)$预处理并单次询问$O(\sqrt{n})$$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)为完全平方数?1:0]$$

$I、$于神之怒加强版题解戳我)   $O(n)$预处理并单次询问$O(\sqrt{n})$$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)^k$$

$J、$数字表格题解戳我)   $O(nloglogn)$预处理并且单次询问$O(\sqrt{n})$,其中$Feb(i)$表示斐波那契数列第i项,$Feb(0)=0,Feb(1)=1...$$$\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{m}Feb(gcd(i,j))$$

2、小套路

$A、\mu$只会用到$min(N,M)$所以筛的时候可以不用筛到$MAXN$(助力冲榜)$B、$数论分块套路(当数论分块会比较麻烦的时候可以用$Map$)$C、$提$gcd$套路(把$gcd$换成字母$d$,从枚举$i,j$改成枚举$d$)$D、$提贡献套路(换元思想):   令$T=id$然后把里面的$sigma$提取到外面,统计贡献$E、$构造函数套路(Code),不过不常用也很难想$F、$线性筛积性函数,详见另一篇笔记《积性函数与线性筛

3、注意事项

$A、$数据范围大的时候注意随时取模!!$B、$有时候卡空间/时间,那么能用$int$尽量$int$,随时$1LL$

4、引理

$A、$$$\lfloor{\frac{\frac{n}{i}}{d}}\rfloor=\lfloor{\frac{n}{id}}\rfloor$$  令$n=a*(id)+b$,$b < id$   那么$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor=a*d+\lfloor\frac{b}{i}\rfloor,\lfloor\frac{b}{i}\rfloor< d$   $\lfloor{\frac{\frac{n}{i}}{d}}\rfloor=a=\lfloor{\frac{n}{id}}\rfloor$   $B、$$$d(nm)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==1]$$   $d(x)$表示$x$的约数个数,如$d(6)=4$   任意$nm$的约数可以表示为$i*\frac{m}{j}$   如果$gcd(i,j)!=1$,可以令$i=k_1p,j=k_2p$,$i*\frac{m}{j}$表示的约束是$\frac{k_1}{k_2m}$,但是我们可以发现当$i=k_1,j=k_2$的时候就已经统计过这个约数了,再不懂可以手玩$4*6$

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线性筛》 《<约数个数和>题解》 《<安师大sanrd>题解