题解 CF671D 【Roads in Yusland】

2019-03-05 19:14:23


[Codeforces671D]Roads in Yusland

你真的不想进来看一看吗


题意

luogu

给定以1为根的一棵树,有$m$条直上直下的有代价的链,求选一些链把所有边覆盖的最小代价。若无解输出-1

$n\le 3*10^5$

题解

这题有一些DP做法,这里不再赘述了。

首先你得知道线性规划的对偶

式子是这样的$max\{c^Tx|Ax\le b\}=min\{b^Ty|A^Ty\ge c\}$

强行往上面套(右式):

  • $c$为全1列向量,长度为$m$
  • $y$为01列向量,长度为$m$,表示每条链选或不选
  • $A^T$为长$n-1$、宽$m$的01矩阵,$A[i][j]$表示$i$这条边在不在第$j$条链中
  • $b^T$为长为$m$的行向量,表示选每条链的代价

所以现在的问题就是要构造一个$x$使得左式最大。

那我们寻找左式的实际意义:给每条边标记一个权值$x$,使得每条链上的边的权值和不超过其代价。

感觉完全不是一个问题了对吧,但是确实他们答案相同。

为方便表述,这条边标记权值$x$记为这条边选了$x$次。

然后这是一个较为显然的贪心,从深到浅能选则选,用可并堆维护当前点到父亲这条边能选的最多次数。

代码

#include<iostream>
#include<vector>
#define pb push_back
#define lc t[x].ch[0]
#define rc t[x].ch[1]
using namespace std;
const int N=3e5+10;
int n,m,cf[N],rt[N],dep[N],nod;
long long Ans;
vector<int> E[N],St[N];
struct mmp{int x,y,c;}A[N];
struct Heap{int ch[2],val,id,dis,tag;}t[N];
void Put(int x,int k) {t[x].tag+=k;t[x].val+=k;}
void pushdown(int x) {int &v=t[x].tag;if(v) Put(lc,v),Put(rc,v),v=0;}
int Merge(int x,int y)
{
    if(!x||!y) return x+y;
    pushdown(x);pushdown(y);
    if(t[x].val>t[y].val) swap(x,y);
    rc=Merge(rc,y);
    if(t[lc].dis<t[rc].dis) swap(lc,rc);
    t[x].dis=t[lc].dis+1;
    return x;
}
int Del(int x) {return Merge(lc,rc);}
void dfs(int x,int fr)
{
    dep[x]=dep[fr]+1;
    for(auto R:E[x])
        if(R!=fr) dfs(R,x),rt[x]=Merge(rt[x],rt[R]),cf[x]+=cf[R];
    if(!cf[x]&&x>1) puts("-1"),exit(0);
    for(auto P:St[x])
        t[++nod].val=A[P].c,t[nod].id=P,rt[x]=Merge(rt[x],nod);
    while(dep[A[t[rt[x]].id].y]>=dep[x]) rt[x]=Del(rt[x]);
    if(rt[x]) Ans+=t[rt[x]].val,Put(rt[x],-t[rt[x]].val);
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1,x,y;i<n;i++)
        scanf("%d%d",&x,&y),E[x].pb(y),E[y].pb(x);
    for(int i=1,x,y,c;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);
        St[x].pb(i);cf[x]++;cf[y]--;
        A[i]=(mmp){x,y,c};
    }
    dfs(1,0);
    cout<<Ans<<endl;
}