三维凸包

向量运算

加减运算

同平面向量，对应坐标相加减

模长

$|a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

点积

两个向量的点积仍然表示 a到b的投影×b的模长 仍然满足$a·b=|a||b|cos<a,b>$ 坐标下有$(x_1,y_1,z_1)·(x_2,y_2,z_2)=(x_1x_2,y_1y_2,z_1z_2)$，对应坐标相乘

叉积

两个三维向量叉积仍然是一个三维向量（不同于平面向量，乘积是实数）其模长仍然表示以这两个三维向量作为邻边的平行四边形面积方向符合：对于$a*b$，伸出右手，食指指向$a$，中指指向$b$，大拇指所对的方向为叉积后的向量方向如上图，$AC*AB=AD$

平面的法向量

在平面上任选两个向量做叉积即可

点到平面的距离

该点到平面上任意一点的向量叉积平面的法向量然后除以法向量的模长

double Dis(Node a) {Node w=Normal();return fabs((w&(a-A[v[0]]))/w.len());}

求凸包

扰动

首先对其微小扰动，避免出现四点共面的情况

平面的记录

扰动之后各个平面一定是一个三角形，逆时针方向记录三个顶点表示一个面

增量构造

借用网上这篇博客的图片方便理解对于一个已知凸包，新增一个点P 将P视作一个点光源，向凸包做射线可以知道，光线的可见面和不可见面一定是由若干条棱隔开的将光的可见面删去，并新增由其分割棱与P构成的平面重复此过程即可，复杂度$O(n^2)$

代码

洛谷模板：求三维凸包面积先放上样例的两张靓照： 强烈推荐画图软件Geogebra！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=2010;
const double eps=1e-9;
int n,cnt,vis[N][N];
double ans;
double Rand() {return rand()/(double)RAND_MAX;}
double reps() {return (Rand()-0.5)*eps;}
struct Node
{
    double x,y,z;
    void shake() {x+=reps();y+=reps();z+=reps();}
    double len() {return sqrt(x*x+y*y+z*z);}
    Node operator - (Node A) {return (Node){x-A.x,y-A.y,z-A.z};}
    Node operator * (Node A) {return (Node){y*A.z-z*A.y,z*A.x-x*A.z,x*A.y-y*A.x};}
    double operator & (Node A) {return x*A.x+y*A.y+z*A.z;}
}A[N];
struct Face
{
    int v[3];
    Node Normal() {return (A[v[1]]-A[v[0]])*(A[v[2]]-A[v[0]]);}
    double area() {return Normal().len()/2.0;}
}f[N],C[N];
int see(Face a,Node b) {return ((b-A[a.v[0]])&a.Normal())>0;}
void Convex_3D()
{
    f[++cnt]=(Face){1,2,3};
    f[++cnt]=(Face){3,2,1};
    for(int i=4,cc=0;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1,v;j<=cnt;j++)
        {
            if(!(v=see(f[j],A[i]))) C[++cc]=f[j];
            for(int k=0;k<3;k++) vis[f[j].v[k]][f[j].v[(k+1)%3]]=v;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
            for(int k=0;k<3;k++)
            {
                int x=f[j].v[k],y=f[j].v[(k+1)%3];
                if(vis[x][y]&&!vis[y][x]) C[++cc]=(Face){x,y,i};
            }
        for(int j=1;j<=cc;j++) f[j]=C[j];
        cnt=cc;cc=0;
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>A[i].x>>A[i].y>>A[i].z,A[i].shake();
    Convex_3D();
    for(int i=1;i<=cnt;i++) ans+=f[i].area();
    printf("%.3f\n",ans);
}