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灭绝树和支配树应该是一种东西
用于$O((n+m)logn)$或者$O((n+m)\alpha)$求解一类如下问题：
在一张捕食图上（从捕食者向被捕食者有连边），若某生物的所有食物都灭绝了，则该生物灭绝。 灭绝树便是此图的一种生成树，使得满足灭绝树上某点灭绝，该点子树内所有点都灭绝
二、实现方式
把图分成以下几种情况考虑
树
本身就是自己的灭绝树
DAG
- [ZJOI2012]灾难
- [Codeforces757F]Team Rocket Rises Again
分以下几步
- 求出DAG的拓扑序
- 照拓扑序，从出度为0的点开始，某点的灭绝树上父亲就是该点在DAG上的所有出点 在灭绝树上的LCA
- 如果没有出度，连向一个虚拟点0方便计算
找LCA用倍增实现即可
一般有向图
例题：HDU4694 Important Sisters：求一般图每个点支配树上的祖先编号之和
$orz\ Tarjan$
首先把原图$dfs$一遍，求出$dfn$序
半支配点
官方定义：$semi[x]=min\{v |$有路径$v->v0->v1...->v_k->x$使得$dfn[v_i]>dfn[x]$对$1<=i<=k$成立$\}$，$min$指$dfn$最小
通俗一点：从$semi[x]$到$x$的路径，掐头去尾，都走的$dfn$大于$x$的点
画个图大概就是如下，$dfn[]=\{0,1,2,3,4,5,7,6\}$，$2->6->5$掐头去尾的$dfn$都大于$dfn[5]$
重要性质： 以下祖先关系均指$dfs$树的祖先关系
- 1.不在$dfs$树上的边一定是由$dfn$大的点指向$dfn$小的点
-
- $semi[x]$一定是$x$的祖先
- 3.在$dfs$树上从$semi[x]$向$x$连边，删掉其他边，灭绝关系不变
性感地理解就是：$semi[x]$到$x$的路径相当于是在$dfs$树外有一条路，且$semi[x]$是离根最近的那个点，从$semi[x]$都走不到$x$了，那其他的点更走不到了
由此可以得出一种做法，求出$semi$后转DAG的做法，复杂度$O(nlogn)$
求半支配点
十分的巧妙
按照$dfn$序从大到小做，对于$x$，枚举$R$存在$R->x$这条边
for(int w=n;w>=2;w--)
{
int x=id[w],res=n;
for(int i=rA.head[x];i;i=rA.a[i].next)
{
int R=rA.a[i].to;//反图
if(!dfn[R]) continue;//有可能root不能走到y
if(dfn[R]<dfn[x]) res=min(res,dfn[R]);
else find(R),res=min(res,dfn[semi[mn[R]]]);
}
//anc[x]表示x在dfs树上的父亲
semi[x]=id[res];fa[x]=anc[x];B.link(semi[x],x);
}其中$find(R)$表示路径压缩的带权并查集，维护$R$到其已经被搜过的祖先的 $dfn$的最小值$mn[R]$，用$semi[mn[R]]$去更新$semi[x]$ 然后例题就得到了一种$O(nlog)$的做法
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstring>
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=3e5+10;
int n,m,ans[N],dfn[N],id[N],tot,dep[N];
int anc[N],fa[N],semi[N],mn[N],in[N],ff[20][N];
int q[N],top;
queue<int> Q;
vector<int> E[N];
struct Map
{
struct edge {int next,to;}a[N<<1];
int head[N],cnt;
void reset() {cnt=0;memset(head,0,sizeof(head));}
void link(int x,int y) {a[++cnt]=(edge){head[x],y};head[x]=cnt;}
}A,rA,B,C;
void reset()
{
A.reset();rA.reset();B.reset();C.reset();
tot=top=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dfn[i]=id[i]=ans[i]=in[i]=anc[i]=dep[i]=0;
fa[i]=mn[i]=semi[i]=i;
E[i].clear();
for(int j=0;j<=18;j++) ff[j][i]=0;
}
}
void dfs(int x,int fr)
{
dfn[x]=++tot;id[tot]=x;
anc[x]=fr;B.link(fr,x);
for(int i=A.head[x];i;i=A.a[i].next)
if(!dfn[A.a[i].to]) dfs(A.a[i].to,x);
}
void dfscalc(int x,int fr)
{
ans[x]=1;
for(int i=C.head[x];i;i=C.a[i].next)
dfscalc(C.a[i].to,x),ans[x]+=ans[C.a[i].to];
}
int find(int x)
{
if(x==fa[x]) return x;
int tt=fa[x];fa[x]=find(fa[x]);
if(dfn[semi[mn[tt]]]<dfn[semi[mn[x]]]) mn[x]=mn[tt];
return fa[x];
}
int LCA(int x,int y)
{
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
int d=dep[x]-dep[y];
for(int i=18;i>=0;i--) if(d&(1<<i)) x=ff[i][x];
for(int i=18;i>=0;i--)
if(ff[i][x]^ff[i][y])
x=ff[i][x],y=ff[i][y];
return x==y?x:ff[0][x];
}
void Work()
{
dfs(n,0);
for(int w=n;w>=2;w--)
{
int x=id[w],res=n;
if(!x) continue;
for(int i=rA.head[x];i;i=rA.a[i].next)
{
int R=rA.a[i].to;
if(!dfn[R]) continue;
if(dfn[R]<dfn[x]) res=min(res,dfn[R]);
else find(R),res=min(res,dfn[semi[mn[R]]]);
}
semi[x]=id[res];fa[x]=anc[x];B.link(semi[x],x);
}
for(int x=1;x<=n;x++)
for(int i=B.head[x];i;i=B.a[i].next)
in[B.a[i].to]++,E[B.a[i].to].pb(x);
for(int x=1;x<=n;x++) if(!in[x]) Q.push(x);
while(!Q.empty())
{
int x=Q.front();Q.pop();q[++top]=x;
for(int i=B.head[x];i;i=B.a[i].next)
if(!--in[B.a[i].to]) Q.push(B.a[i].to);
}
for(int i=1;i<=top;i++)
{
int x=q[i],f=0,l=E[x].size();
if(l) f=E[x][0];
for(int j=1;j<l;j++) f=LCA(f,E[x][j]);
ff[0][x]=f;dep[x]=dep[f]+1;C.link(f,x);
for(int p=1;p<=18;p++) ff[p][x]=ff[p-1][ff[p-1][x]];
}
ans[0]=0;dfscalc(n,0);
}
int main()
{
cin>>n>>m;
reset();
for(int i=1,x,y;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
x=n-x+1;y=n-y+1;
A.link(x,y),rA.link(y,x);
}
Work();
for(int i=n;i>=1;i--) printf("%d ",ans[i]);
return 0;
}